こんにちは。だいCです。

ロボットのプログラミングしたいよーって人います？
今回からロボットのプログラミングを始めてみようと思います。

自分は「ロボットのプログラミングって何ですか？」って思うことがよくあります。

別にロボットのプログラミングに限った話ではありませんが、
本当に作りたいモノのほんの一部の作業をずっと続けていると、あれ？自分は何がしたかったんだっけ…？と見失うことがたまにあります。やりたいことの迷子になります。

プログラミングも迷子に陥りがちで、
プログラム自体を作りたいモノの一部とみなして「自分はいま〜を作っているゾ！」って思いながらプログラミングしないと作業に埋もれて本来の目的を見失いがちです。
「コードを書いて動かすだけの泥臭いクソつまらない作業をしている」と思った途端、モチベーションはダダ下がりです。自分の人生にとって無駄だと我慢して苦しみながらプログラミングしている人はかわいそうです。
無駄だという計算を走らされ続けて文句もいわず頑張ってくれている計算機もかわいそうです。

ということで、ここでは「ロボットを作るゾ！わーい！」と楽しい気持ちで始めましょう。

1. 対象読者

「〜してみよう」と誘っておいてなんですが、人に伝える文章という意味で、読者は以下の知識がある人を前提としています。

• Linux OSのプログラミング インタフェースの使用経験がある人
• git、GitHubを使ったことがある人

これらの知識について自分も素人なので恐縮ですが、もし書いてあることに間違いがあれば気軽にコメント頂けると嬉しいです。

2. milibってなんですか？

「運動知能研ライブラリ ＝ Motor Intelligence lab. LIBrary」を縮めて「milib」と書いた名前のようです。
自分は「えむ あい りぶ」と読んでいます。

かつて日本には「運動知能研究室」という研究室があったそうです。
このライブラリはその研究室で開発されたものみたいです。
まだ詳しく知りませんが、ロボットのプログラミングにおいて便利かつ強力な計算ライブラリのようです。あまり大きな声では言えませんが、これを解読し使いこなすと、ひょっとすると世界を変えるかもしれない…と一部で噂されているかもしれないようです。

全然よく分からないので、とりあえず使ってみましょう！

3. 環境構築するPC環境

今から環境構築するPC環境をメモしておきます。
OS環境はUbuntu 18.04です。以下コマンドでの確認になります。

3.1. PC

Intel(R) NUC8i7BEH

$ sudo lshw
...
    詳細: デスクトップコンピューター
    製品: NUC8i7BEH (BOXNUC8i7BEH)
    ベンダー: Intel(R) Client Systems
    バージョン: J72992-305
    シリアル: G6BE91500HCB
    幅: 64 bits
...

lshwコマンドの -short オプションでCPU、メモリ、グラフィック等のクラスと詳細をざっくり確認できます。

3.2. CPU

processor      Intel(R) Core(TM) i7-8559U CPU @ 2.70GHz

以下のように/proc/cpuinfoをのぞいても確認できるそうです。

$ cat /proc/cpuinfo

3.3. メモリ

memory         64KiB BIOS
memory         32GiB システムメモリー
memory         16GiB SODIMM DDR4 同期 2400 MHz (0.4 ns)
memory         16GiB SODIMM DDR4 同期 2400 MHz (0.4 ns)
memory         256KiB L1 キャッシュ
memory         1MiB L2 キャッシュ

以下のように /proc/memoinfo をのぞいても確認できるそうです。

$ cat /proc/meminfo
MemTotal:       32749116 kB
...

3.4. グラフィック

display        CoffeeLake-U GT3e [Iris Plus Graphics 655]

lspciコマンドでPCIバス接続されたグラフィック確認することもできるそうです。

$ lspci
...
... VGA compatible controller: Intel Corporation CoffeeLake-U GT3e [Iris Plus Graphics 655] (rev 01)
...

3.5. ディスク

1TBのSSDがささっています。空き容量は700GBくらいあります。

3.6. OSとディストリビューション

$ lsb_release -a
No LSB modules are available.
Distributor ID:	Ubuntu
Description:	Ubuntu 18.04.6 LTS
Release:	18.04
Codename:	bionic

3.7. カーネル

$ uname -r
5.4.0-72-generic

3.8. コンパイラ

GitHub上でチラリとmilibリポジトリ内のmake関連のコードを覗いてみるとデフォルトでは gcc をコンパイラとしているようです。clang などではないようです。

$ gcc --version
gcc (Ubuntu 7.5.0-3ubuntu1~18.04) 7.5.0
Copyright (C) 2017 Free Software Foundation, Inc.
This is free software; see the source for copying conditions.  There is NO
warranty; not even for MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.

4. 環境構築のためのパッケージmilib starter

GitHubを見ると、milibを使える環境を自動で構築してくれる「milib-starter」というパッケージを、既に作ってくれているようです。

https://github.com/mi-lib/milib-starter

4.1. milib starter のクローン

まずこのリポジトリを自分のローカルにクローンしてみましょう。

自分はとりあえず 「milib」 というディレクトリを作っておきました。
この中にライブラリ群を入れていこうと思います。

$ mkdir milib  # milibディレクトリを作成
$ cd milib     # milibディレクトリに移動
$ pwd          # パスを確認
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib

milib starter をクローンします。

$ git clone https://github.com/mi-lib/milib-starter.git

クローンできたら中身を確認します。

$ cd milib-starter # クローンしたmilib-starterへ移動
$ pwd              # パスを確認
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter
$ ls               # 中身を確認
README.md  config  deb  scripts

milib starterのディレクトリ構成を見てみましょう。

$ tree
.
├── README.md
├── config
├── deb
│   ├── dzco-dev_1.4.5-debian1_amd64.deb
│   ├── liw-dev_1.2.7-debian1_amd64.deb
│   ├── neuz-dev_0.2.6-debian1_amd64.deb
│   ├── roki-dev_1.6.20-debian1_amd64.deb
│   ├── roki-fd-dev_1.4.4-debian1_amd64.deb
│   ├── roki-gl-dev_1.6.20-debian1_amd64.deb
│   ├── zeda-dev_1.6.16-debian1_amd64.deb
│   ├── zeo-dev_1.10.3-debian1_amd64.deb
│   ├── zm-dev_1.3.22-debian1_amd64.deb
│   └── zx11-dev_1.2.7-debian1_amd64.deb
└── scripts
    ├── milib-install
    ├── milib-rebuild
    └── milib-uninstall

README.mdがありますね。

4.2. milib starter の README

まずはREADME.mdを読んでみます。
以下、自分の言葉で勝手に日本語に訳して書いてみています。

—

milib starter

Copyright (C) Tomomichi Sugihara (Zhidao) since 1998

[なんですか?これ]

このスターターキットにはインストーラ、アンインストーラ、milibを再ビルドするスクリプトが入っているよ。これらは Ubuntu で動くよ(もしくは Debian でもイケるかも。試したことないけど)。

milib はロボットのコントロールやシミュレーションを開発するライブラリを集めたものだよ。ライブラリには以下が含まれるよ:

ZEDA – 初歩的なデータとアルゴリズム
ZM – 手軽な数学ライブラリ
neuZ – ニューラルネットワークのライブラリ
DZco – ディジタル制御のライブラリ
Zeo – Z/幾何学・光学計算ライブラリ
RoKi – ロボット キネティクス ライブラリ(キネマティクスではなくキネマティクス)
ZX11 – Xウインドウシステムのインタフェースライブラリ用ラッバー
LIW – Linuxシステム依存の操作を支援するウィザード
RoKi-GL – ロボット キネティクス ライブラリ: OpenGLによる可視化

[インストール方法 / アンインストール方法]

インストール

もしライブラリのインストール先を特定の場所にする必要があるなら config 内の PREFIX を編集してね。

% milib-install [clone/deb]

コマンドラインでのオプションの意味は以下のようになっているよ。

clone: ライブラリのソースコードをGitHubのリポジトリから取ってくるよ
deb: ディレクトリdeb/以下のDebianパッケージからライブラリをインストールするよ。
もしオプションを省略したら、Git情報なしでソースコードをリポジトリからダウンロードするよ。

アンインストール

以下を実行してね:

% milib-uninstall [deb]

deb オプションはDebianパッケージからインストールしたときだけ有効だよ。

[つかいかた]

もし必要なら自分の環境変数 PATH と LD_LIBRARY_PATH を設定しておいてね。
Bourne shell ファミリー (bash, zsh, etc.) なら以下のように設定するよ。

% export PATH=$PATH:$PREFIX/bin
% export LD_LIBRARY_PATH=$LD_LIBRARY_PATH:$PREFIX/lib

C shell ファミリー (csh, tcsh, etc.)なら以下のように設定するよ:

C shell ファミリー (csh, tcsh, etc.)なら以下のように設定するよ:

[お問い合わせ]

zhidao@ieee.org

—

ふむふむ。

インストールの選択肢としては、
「GitHubからクローン」か「debパッケージを展開」か「Git情報なしダウンロード」
があるみたいですね。

GitHubには最新版が上がっていそうなので、GitHubからソースコードをクローンして取ってくることにします。
とりあえず、「インストール」に書かれた手順を試してみて、自分が作成しておいた「milib」ディレクトリ内にライブラリ群をクローンしてみましょう。

4.3. milib starterによる自動クローンとインストール

まず「config」ファイルを適当なテキストエディタで開いて、中にある変数 PREFIX に対し自分が作成しておいた「milib/」のパスを書いておきましょう。以下編集後の「config」 ファイルの中身です。

PREFIX=/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib 
LIBS="zeda zm neuz dzco zeo roki liw zx11 roki-gl roki-fd"

そして、「 scripts/」 ディレクトリ内にあるシェルスクリプト「milib-install 」でクローンを実行してみます。

$ pwd                    # 現在scriptsディレクトリにいることを確認
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter/scripts

$ ./milib-install clone  # 実行

するとクローンする前に、何やら色々aptパッケージをインストールし始めました。わ〜聞いてないよ〜！
(あとで「milib-install」の中をテキストエディタで覗いてみると、インストールしたのは以下でした)

git wget unzip rename make gcc fakeroot
libxml2-dev xorg-dev libtiff-dev libjpeg-dev freeglut3-dev

そして、最後に以下のメッセージが出てきて終了しました。クローンはできていないようです。

--- (前略) ---
libxml2-dev:amd64 (2.9.4+dfsg1-6.1ubuntu1.4) を設定しています ...
./milib-install: 12: .: Can't open ./config

どうやら config ファイルが置いてある階層から実行しないとダメみたいですね。
scripts ディレクトリの一個上の階層へ戻って、再度スクリプト「milib-install」でクローンを実行してみます。

$ pwd                            # milib-starter/ にいることを確認
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter

$ ./scripts/milib-install clone  # 実行

すると今度は以下のメッセージが出てきて終了しました。クローンはできていないようです。

--- (前略) ---
アップグレード: 0 個、新規インストール: 0 個、削除: 0 個、保留: 3 個。
installing libraries and tools under /home/{自分の好きなディレクトリ}/milib ...
making directory /home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/bin ...
making directory /home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/include ...
making directory /home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/lib ...
Add /home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/bin into your PATH by
  export PATH=/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/bin:$PATH
for Bourne shell family (bash, zsh, ksh, etc.), or by
  set path = ( /home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/bin $path )
for C shell family (csh, tcsh etc.).

「milib/」 ディレクトリの下を見ると 「bin/」「include/」「lib/」という名前の空のディレクトリが作成されていました。ここがインストール先になるようです。

どうやら README.md の [つかいかた] に書かれていたとおり、これら「bin」「lib」のディレクトリパスを環境変数「PATH」と「LD_LIBRARY_PATH」に追記しておかないとインストールできないようですね。[つかいかた]ってこのスクリプト「milib-install」の使い方のことだったんですかね。てっきりインストール後のライブラリの使い方のことだけかと思っていました。

では以下のように「PATH」と「LD_LIBRARY_PATH」に追記しておきます。

$ pwd                    # milib-starter/ にいることを確認
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter

$ . ./config             # configファイル内の設定を現在の端末に反映。
$ echo $PREFIX           # 変数PREFIXが反映されていることを確認
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib

$ export PATH=$PATH:$PREFIX/bin
$ export LD_LIBRARY_PATH=$LD_LIBRARY_PATH:$PREFIX/lib

$ echo $PATh             # 確認
--(略)-- :/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/bin

$ echo $LD_LIBRARY_PATH  # 確認
--(略)-- :/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/lib

さてここまで書いてみて再度スクリプト「milib-install」でクローンを実行してみます。

$ ./scripts/milib-install clone

すると今度はクローンし始めました。
と同時にコンパイルまで走り、実行ファイルやライブラリなどを自動でビルドし始めました。

installing libraries and tools under /home/{自分の好きなディレクトリ}/milib ...
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/bin ... valid path.
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/lib in LD_LIBRARY_PATH.
cloning zeda ...
Cloning into 'zeda'...

--(中略)--

make[1]: ディレクトリ '/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter/zeda' から出ます
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter
cloning zm ...
Cloning into 'zm'...

--(中略)--

make[1]: ディレクトリ '/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter/zm' から出ます
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter
cloning neuz ...
Cloning into 'neuz'...

--(中略)--

make[1]: ディレクトリ '/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter/neuz' から出ます
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter
cloning dzco ...
Cloning into 'dzco'...

--(中略)--

make[1]: ディレクトリ '/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter/dzco' から出ます
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter
cloning zeo ...
Cloning into 'zeo'...

--(中略)--

make[1]: ディレクトリ '/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter/zeo' から出ます
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter
cloning roki ...
Cloning into 'roki'...

--(中略)--

make[1]: ディレクトリ '/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter/roki' から出ます
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter
cloning liw ...
Cloning into 'liw'...

--(中略)--

make[1]: ディレクトリ '/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter/liw' から出ます
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter
cloning zx11 ...
Cloning into 'zx11'...

--(中略)--

make[1]: ディレクトリ '/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter/zx11' から出ます
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter
cloning roki-gl ...
Cloning into 'roki-gl'...

--(中略)--

make[1]: ディレクトリ '/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter/roki-gl' から出ます
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter
cloning roki-fd ...
Cloning into 'roki-fd'...


--(中略)--

ake[1]: ディレクトリ '/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter/roki-fd' から出ます
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib/milib-starter
completed.

標準出力を見てみると、
zedaライブラリだけ app/ ディレクトリがない というエラーが出ているのと、
各ライブラリ共通してclean する時に削除するファイルがない というエラーが出ているのと、
各ライブラリ共通してコンパイルするときに最初は config がない というエラーが出ているようです。
が、これらはインストールにおいて致命的なエラーではなさそうです。

各ライブラリ共通して

• ライブラリ
• ヘッダファイル
• ツール
• アプリケーション

がインストールされているようです。

また、インストールされたライブラリのバージョンと、依存する各ライブラリのバージョンも標準出力されています。自分の場合、インストールされたものは以下のようです。

「milib」ディレクトリに戻ってみて、インストールされたものをざっと確認すると以下のような構成になっていました。

.milib/
├── bin/
│   ├── cad2ztk
│   ├── ...
│   └── zxwatch
├── include/
│   ├── dzco/
│   ├── liw/
│   ├── neuz/
│   ├── roki/
│   ├── roki-fd/
│   ├── roki-gl/
│   ├── zeda/
│   ├── zeo/
│   ├── zm/
│   └── zx11/
├── lib/
│   ├── libdzco.so
│   ├── libliw.so
│   ├── libneuz.so
│   ├── libroki-fd.so
│   ├── libroki-gl.so
│   ├── libroki.so
│   ├── libzeda.so
│   ├── libzeo.so
│   ├── libzm.so
│   └── libzx11.so
└── milib-starter/
    ├── deb/
    ├── dzco/
    ├── liw/
    ├── neuz/
    ├── roki/
    ├── roki-fd/
    ├── roki-gl/
    ├── scripts/
    ├── zeda/
    ├── zeo/
    ├── zm/
    └── zx11/

ソースコード群は milib/ 内に配置するつもりでしたが、結果として milib-starter/ の中に配置されました。
ライブラリをまずは使ってみるだけなので、ディレクトリ構成としてはこちらの方が見やすく、結果オーライだったかもしれません。

サイズも見ておきます。

$ pwd
/home/{自分の好きなディレクトリ}/milib

$ du .
...
79552	.  # kB(キロバイト)

ソースファイルとオブジェクトファイルも含んで80MBくらいのようです。
インストールされたライブラリ達「bin」「include」「lib」のみの合計サイズを見ておくと

$ du --total bin include lib
...
4492	合計

だいたい4.5MBくらいのようです。

ふぅ〜。

ということで環境構築としてソースコードを取ってきてビルドしてライブラリをインストールする所まで出来たようです。
お疲れ様でした。
次回はライブラリを使ってみましょう。

それではまた。

こんにちは。
お久しぶりの投稿です。

今までは剛体の回転運動についてしか書いてませんでした。
ここらで、実際のロボットの動作に少し絡めて
自分の学習の方向性を整理しておきたいと思います。

1. 目的

今回の目的は、以下の２つになります。

• PTP方式の動作指定によるティーチング・プレイバックにおいて、
  実用上ユーザが求める動作コマンドの入力パラメータ例を挙げる
• 動作コマンドに照らし合わせ、経路補間、回転運動計算の設計上の課題へと落とし込む

1.1. 目的内の用語

目的に書いてある用語を知っていれば、本節は読み飛ばしてください。

PTP(Pose To PoseまたはPoint To Point)方式とは、
JIS B 0134の用語によると
「ロボットが通過させる指令ポーズだけを指定し，
ポーズ間でたどるべき経路を指定しない制御方式」
のことをいいます。

ロボットを動作させるとき、
移動時間の細かい時間刻みで細かいポーズ変化をいちいち指定するのではなく、
開始点から、経由点、終端点のロボットのポーズと移動時間をざっくり数点指定すれば、
あとは自動で動作を作って補間してくれる方式です。

対して、CP(Countinuous Path)方式というのがあります。
これはJISでは
「ロボットに指令ポーズの間でたどらせる経路を指定する制御方式」
と定義され、ユーザが経路を描いたり何かしら記録して指定し、
きっちり経路上にロボットの手先もしくは全身のポーズを沿わせる方式です。

ユーザがポーズ点だけで指定するのがPTP、
経路を指定するのがCP方式と覚えておきます。

ティーチング・プレイバックとは、

JIS B 0134の用語でいう

教示(ティーチング)：
「ロボットのエンドエフェクタ又は模擬機構を
手で又はペンダントを用いて動かし，
ロボットに所望の位置を 1 ステップずつたどらせることによって
プログラムを作成すること」、

プレイバック運転：
「ロボットに，教示プログラミングによって格納したタスクプログラムを
繰り返し実行させる運転方法」

の両方を指しています。

「エンドエフェクタ又は模擬機構って？」
と疑問が重なりますが、ロボットの手のことです。

さらに「ペンダントって？」
と疑問が重なりますが、タブレットみたいな手持ちコントローラを指します。
鉄人28号を操作するために正太郎くんが持ってたあれとかペンダントっぽい気がします。違うか。

さらにさらに「タスクプログラムって？」
と疑問が重なりますが、編集・録画した動画データと同じかと。
記録された動作データのことです。

動作データをプレイバック、
つまり再生してロボットを動作実行させるのですね。
「ちょっと待って。プレイバック、プレイバック」です。違うか。

余談ですが、
ティーチング・プレイバックというロボットの使い方は、
産業用ロボットが出た大昔からずっと変わらず今も主流のままです。

プレイバックは再生するだけなので良いですが、
面倒なのはティーチングです。

「人類は、いつまでタスク(仕事)をロボットに教え続けなければいけないんだ！」

と皆もっと嘆いて

「できらぁっ！」
「いまなんていった？」
「ティーチレスのロボット用ソフトウェアを世に出してやるって言ったんだよ！」

と啖呵切って技術進化に参戦して欲しいです。

1.2. 目的の動機

目的を読んでおよそ動機がわかった人は、本節を読み飛ばしてください。

PTP方式の動作指定は
大昔から産業用ロボットで使われている主流な機能です。

PTP方式の機能のない産業用ロボットを販売するロボットメーカーは
おそらく存在しないのではないかと勝手に思っています。
それくらい基本中の基本の機能ではないでしょうか。

では、
ティーチング時、このPTP方式を利用するために、
ユーザに対しどのようなコマンド入力が用意されていれば良いでしょうか？

この疑問が一つ目の目的の動機につながります。
JISにはSLIMというロボット用プログラム言語の規格があり、
動作コマンド(MOVEなど)のインタフェースが定めてありますが、
それで十分か不十分かは
ユースケースをほじくり出してみないとはっきりしません。

また、ユーザ入力のコマンドが定義されたとして、
具体的に計算上どのような問題を解く必要があるでしょうか？

ただし今回は解法までは触れません。
あくまで設計上の課題を明らかにしたいのです。

2. ロボットの動作コマンドの入力パラメータ例

以下にPTP方式で動作するロボットの図を描いてみました。

図中ニョロニョロ描いてある線が
ロボットの手先軌道だと思ってください。

軌道上にいくつか打ってある点が、
ユーザがコマンドのパラメータとして入力した各ポース点です。

ここではロボットの手先位置姿勢をポーズ点として軌道を描いていますが、
全関節軸の回転角度位置セットを一つのポーズ点として全軸の軌道を扱う場合もあるでしょう。

入力パラメータをユースケースとして考えてみます。

2.1. 目標移動時間による動作指定

PTP方式は、
開始点から、経由点、終端点のロボットのポーズと移動時間を数点指定すれば、
あとは自動で動作を作って補間してくれる方式、
と上の用語説明で書きました。

ならば
・移動時間
・目標のポーズ点
さえ入力パラメータとしてあれば良い気がします。

ということで、１つめの入力パラメータ例は以下になります。

• 移動時間、目標ポーズ点

ユーザがロボットに与えるコマンド(命令)は
「動け、この移動時間で、この目標ポーズ点へ」
といった感じでしょうか。

目標点と目標点の移動を、
[m/s]、[rad/s]…
といった単位による移動速度で指定したい場合もあるでしょう。
その場合、
開始点と終端点の2点の平均移動速度として速度指定できると嬉しいですね。

・平均移動速度、目標ポーズ点

「平均」移動速度としたのは、
開始点＝速度0で停止している状態から、
終端点＝速度0で停止した状態へと動作するとき、
あいだに加速と減速が加わり常に速度一定ではないケースを考慮したためです。

小学校で習うように、平均移動速度は移動時間へ容易に変換できます。
(移動時間) = (2つの目標ポーズ点間距離) / (平均移動速度)
なので結局、
移動時間と目標ポーズ点が入力パラメータとして設定可能であれば、
平均移動速度の入力もカバーできることになります。

2.2. 速度比率による動作指定

移動時間をいちいち設定するのは面倒で、
工場でサイクルタイムを気にするユーザは、

「速く！もっと速く！とにかく速く移動してタイムロスを減らすんだ！」

という要望を持つことが大いにあるでしょう。

しかし速くといってもロボットにも限界があるはずです。

ならばユーザの要望は「限界まで速く」になります。

では「限界」とは何に基づいて決まるのでしょう？
例えば以下２つです。

・モータやモータドライバの限界
・安全上の限界

１つめについて、
軸の回転を速くするためモータやモータドライバの回路に電流をどんどん流すと、
ある大きさ以上電流が流れ続けると回路が発熱で壊れてしまう、
といったことがあります。

１つめの「モータやモータドライバの限界」とは、
長時間流しても壊れない程度の電流値、それに対応した最大加速度・速度にしておく、
といった限界です。

２つめについて、
ロボットがあまり速く動き過ぎると
周囲にある物や人に不意に接触したとき大事故につながる恐れがあります。

２つめの「安全上の限界」とは、
接触しても最悪の事故は避けられる程度の最大速度にしておく、
といった限界です。

余談ですが、
モータやモータドライバの限界に関して、
従来の産業用ロボットは、大出力のモータを選定することで大電流を許容し、
使用する電流値の範囲は定格を超えないよう余裕をもたせ
かつ使用可能な速度・可搬重量の最大範囲を広げる、
というのが普通でした。

ただし大出力に伴いモータも大型かつ大質量になり、
それらを多数装備したロボットは設置場所を手軽に変えられず、
設置スペースや動作軌道も十分配慮しなければいけませんでした。

また安全上の問題に関して、
従来の産業用ロボットでは、
ロボットの周囲に安全柵を設けて人との接触をなるべく防いでいました。

ただしティーチングするにしても
自動運転中のアクシデントに対応するにしても、
ユーザは柵の内外を行ったり来たりしなければならず手軽ではありません。

最近では
これらの課題を克服する新たな形態の産業用ロボット・規格が出てきています。
それに関してはまたいつか書きましょう。

さて話を戻しますが、
「限界」を考慮した速度を指定できるようにするので、
動作コマンドの入力パラーメータとして
移動時間の代わりに限界を100%とした速度比率が用意してあれば、
ユーザの要望は満たされるでしょう。

• 限界に対する速度比率、目標ポーズ点

ユーザがロボットに与えるコマンド(命令)は
「動け、この速度比率(%)で、この目標ポーズ点へ」
といった感じでしょうか。

2.3. 経由点

2.3.1. 経由点を通る動作を考える

3次元空間上の2つの目標点を補間する方法には、

手先位置のポーズ点だと線形補間、
姿勢(回転方向)のポーズ点だと球面線形補間

といったものがあります。

・位置の点の補間：線形補間(Lerp: Linear interpolate)
・回転方向(姿勢)の補間：球面線形補間(SLerp: Spherical Linear interpolate)

以前書いた「剛体の運動(2つの姿勢の補間)」は、上記でいう球面線形補間(SLerp)に当たります。

このLerp、SLerpの補間方法は、2つの点の補間を前提としており、開始点と終端点の間を最短距離で結びます。
Lerpだと2つの位置の点を直線状に結び、
SLerpだと2つの姿勢の点を、回転軌道を模した球面の測地線上に沿って結びます。
これが位置姿勢の位置空間軌道になります。

また速度の軌道について、
時間スケールを使い開始点で速度=0で停止した状態から、
終端点で速度=0で停止した状態に至るように補間計算します。

そのため、経由点が含まれても2つの点の間を一回一回加速・減速して停止するようになります。
つまり、経由点で毎回止まるのです。

経由点を使用するユーザの要望はこうでしょう。

「経由点で止まらず動作し続けて欲しい」

経由点で止まって欲しいならば、
2つの目標点間の経路を先のLerp、SLerp によって最短距離(直線、測地線)で結ぶことで実現できます。

止まって欲しくない場合、
実現すると、かわりに目標点間の経路を最短距離の直線、測地線上に結ぶことは難しくなります。

というのは、
同じ方向直線上に経由点が存在するならば問題ありませんが、
経路点で方向が変わると、方向成分の速度の大きさは失われるため、
直線の交点で結ぶと一瞬にしろ必ず経由点で停止することになります。
曲線で結べば常に方向成分は変化しますが速度の大きさを保つことができます。
経路点上で止まらないということは、
方向の変わり目に直線ではない何かしらの曲線で結ぶことになるのです。
高校数学Ⅱ「関数の連続性」で学んだ話を思い出します。

ということで、経由点で止まらない場合、
どのような補間経路が考えられるでしょうか。

2.3.2. 経由点補間の種類

以下図に3つのパターンを挙げてみました。

左から1つめの補間タイプは、

・各目標点では動作方向を固定する

というものです。

「経由点を通過するとき、次の目標点方向に向かって動作して欲しい」

といった要望がある場合、この補間方法が使えるでしょう。
次節で挙げますが、
経由点通過時の方向(=目標点速度)をユーザに指定できるように、
入力パラメータを用意しても良いかもしれません。
補間された曲線は、つぎの目標点に近づくにつれ、
固定された動作方向に追従するように回り込んだ形状になります。

左から2つめの補間タイプは、

・動作速度に合わせて直線(測地線)から曲線度合いを増す

というものです。

「経由点を必ず通り通過時の速度はよしなに」

といった場合は、
このタイプの使い勝手が良いかもしれません。

最後の左から3つめの補間タイプは、

・経由点にたどり着く前に次の目標点への動作を始めてしまう

というものです。

前の動作が終わらないうちに次の動作を混ぜて連続動作させるのです。

図には「ショートカット(short-cut)」と書きましたが「合成(blend, mix)」といったりします。
LerpやSLerpの補間が合成される場合、
合成されるまでは直線や測地線上に沿った軌道となります。
なるべく直線性を保った経路が欲しい場合使い勝手が良いかもしれません。

ただし、速度が増すにつれて経路点をショートカットする度合いも増すため、
経由点と速度とのバランス調整をする必要が出て面倒くさい場合もあります。

以上をまとめると、ユーザがロボットに与えるコマンド(命令)の入力パラメータは、

• 目標点で止まる(Lerp、SLerp)
  ・移動時間(または速度比率)、目標ポーズ点
• 経由点(経由点で止まらない)
  ・各点間の移動時間(または速度比率)セット、目標経由点セット(複数)、補間の種類

となり、先に挙げた移動時間や速度比率との組み合わせになります。

2.4. 割り込み動作

最後の入力パラメータ例は、割り込み動作についてです。

ある目標点へ移動している途中、
内部/外部センサなど割り込み入力(トリガー)に反応して
目標点や経路を止まらず急遽変更できるのが割り込み動作です。
ユーザがロボットに与える入力パラメータは以下のようになります。

• (割り込まれる側の元の動作に対し)割り込み動作を許容する/許容しない
• 監視する割り込み入力(トリガー)の指定
• トリガーがONになったら発動する割り込み動作(移動時間、目標ポーズ点などのパラメータ)

「移動する物体をキャッチしたい」
といったケースには、
時々刻々と目標点を変えて割り込み動作で追従すれば実現できそうです。

ただし、目標点も移動し続けているのであれば、
目標速度も指定できた方が良さそうです。
よって動作コマンドの入力パラメータに、目標ポーズ点での速度を加えたパターンも挙げておきます。

• 移動時間(または速度比率)、目標ポーズ点、目標点速度

目標ポーズ点が手先ポーズである場合、
目標点速度を与える代わりに、手先ポーズ点座標の基準座標系自体を移動させるという方法もあります。
入力パラメータは、以下となります。

• 目標ポーズ点の基準座標系の速度

この基準座標系の速度設定後、

・移動時間(速度度比率)、目標ポーズ点(基準座標系が移動中)

の入力コマンドで、
目標ポーズ点で目標速度を与えることができます。

2.5. PTP動作コマンドの入力パラメータのまとめ

さて以上により、
ユーザがPTP方式の動作コマンドで欲しいと思われる入力パラメータは、
おおかた出揃ったのではないでしょうか？

ここで、まとめておきます。

1. 目標点に到達するたびに止まる(Lerp、SLerp)
   ・移動時間(または速度比率)、目標ポーズ点
2. 経由点(で止まらない)
   ・各点間の移動時間(または速度比率)セット、目標経由点セット(複数)、補間の種類
3. 割り込み動作
   ・(割り込まれる側の元の動作に対し)割り込み動作を許容する/許容しない
   ・監視する割り込み入力(トリガー)の指定
   ・トリガーがONになったら発動する割り込み動作(移動時間、目標ポーズ点などのパラメータ)
4. 目標点で止まらない
   ・移動時間(または速度比率)、目標ポーズ点、目標点速度
   ・目標ポーズ点の基準座標系の速度
   → 移動時間(または速度比率)、目標ポーズ点(基準座標系が移動中)

3. 設計上の問題

3.1. 【問題1】限界(速度比率100%)の定式化

「限界まで速く」といわれても機械は限界を知りません。
定式化してプログラムを組んで書き込んで上げないと、
ユーザから言われるがままに動き続け、
果ては壊れ、
もしくはケガでは済まない大事故を起こすことだってあります。

定式化のために物理モデルを立てる必要があります。

モーターやモータードライバの限界だと
回路保護の観点から
モーターの回転運動と電流と発熱との関係をモデル化する必要があります。

短時間で一気にコゲつくくらいの電流値が一体いくらなのか知る必要があります。

燃えるまでいかなくても高い電流値であれば
時間経過とともに発熱温度が上がり、
基板の冷却装置の伝熱・放熱の限界を超えて壊れてしまうので、
温度上昇を避けられる限界の値がいくらなのか知る必要があります。

安全上の限界だと、
人がロボットのフレームに接触したら停止
つまりゼロ距離で停止するとし、
そこから近距離、遠距離へと距離を変化したときの、
相対的に停止できる各関節軸の回転速度の限界をモデル化する必要があります。

フレームとの距離なので関節一軸だけの問題ではなく、
ロボット全身の衝突モデルを立てる必要があります。

3.2. 【問題2】限界(速度比率100%)と関節-手先の変換

手先のPTP動作をある移動時間セットの経路点セットに沿って実行したいとき、
各関節軸はどのような回転運動をすれば良いでしょうか？

手先の移動速度はゆっくりでも
ある関節軸の回転速度は速くなってしまうことがあります。
手先と各関節軸との運動の変換式を考える必要があります。

また、手先のPTP動作を100％の速度指定で実行したいとき、
先の定式化の話によると、
手先動作の100%限界も各軸モーターの回転運動の制約や衝突モデルの制約に縛られます。
制約式から変換して手先の100%動作を生成する必要があります。

3.3. 【問題3】限界(速度比率100%)と球面上経路点補間

経路点を止まらずに滑らかに補間するとき、
前の章で補間の種類の例を上げてみましたが、
各種類の補間を球面上姿勢方向で実現するには一体どのような計算が必要でしょうか？

止まらずに滑らかに補間するということは、
通過する経路点上で速度を持つということになります。
姿勢の方向変化、姿勢の回転の速度なので、いわゆる姿勢の角速度ですね。

ユーザは時間と方向くらいは指定しても、姿勢の角速度までは直感的に分かりにくいし面倒なので直接指定したくないでしょう。
すると経路上の姿勢の角速度は自動で割り振ってもらう必要があります。

位置空間の点運動と違い、姿勢の運動は複雑です。
速度の限界を関節軸や衝突モデルの制約に基づいて与えるとき、
姿勢の運動に対しどのような形でその制約式が表れるでしょうか？

3.4. 【問題4】割り込み動作を受け入れるシステム

最近のロボットは多数のセンサを監視したり、
脚や双腕や頭部で各部位別々に動作したり、
移動したり、
外部機器と連携したり、、
とマルチタスクであることが当たり前になってきました。

割り込み動作を使用可能にするということは、
ユーザの応用範囲が広がる反面、
ユースケースも増え、
あらゆるパターンに耐えるシステムの設計が求められることになります。
タスク実行の優先度やプリエンプション、リアルタイム処理などのシステム設計時に割り込み動作はあらかじめ考慮される必要があります。

だからといってしかし、
ユーザの割り込み動作の指定をなんでもかんでも許す必要はなく、
「そんなん無理じゃー」
といってエラーで落とす仕様もあって然りだと思います。

ただし割り込み動作がエラーで失敗するときは、
システムの安全性は担保されるべきですし、
後でそのエラー原因や回避方法をなるべくユーザに分かりやすく伝える機能が用意されてあるべきです。

一番よくないのは、中途半端なのに何でもできるように謳った仕様です。
できないならできないと明確に仕様を決めるべきです。
マニュアルにもはっきり書いておくべきです。
ユーザが使ってわけわからん挙動をするロボットは最悪です。
ソフトウェア品質を軽視するヒドい開発体制のメーカーだと非難するべきです。たった少人数で過剰労働させて設計し社内レビューもなく世に出したに違いありません。悪いのは一方的に命令している人間です。ロボットの開発現場の人間が一番ロボットみたいになっ・・・おっと関係ない話でしたね。自分の黒い部分がはみ出していました。

4. 今回はここまで

ふぅ〜。
今回はPTP方式の動作コマンドの具体的なユースケースを挙げました。

さらにそのコマンドを実現するために
クリアしなければならない問題も挙げました。

PTP方式のコマンド例はこの限りではないでしょうし、
本問題の解法も一通りではないでしょう。
しかし今回はこれだけ書いたらなんかもう満足したので終わります。

次回からまた、
問題を数式に落とし込んで解いていきたいと思います。

以上です。

こんにちは。
だいCです。

このブログはノート代わりに使っています。

今回は回転＆並進についてノートします。

1. 目的

１つの回転軸まわりの回転と並進が複合した運動における、
質点の位置姿勢の速度・加速度を求める

2. 回転と並進が複合した運動を考える場面

日常だとあまり意識しないかもしれませんが、例えば

• 乗り物でカーブしながら車線変更するときや、
• 北半球の気象衛星画像に写った低気圧が反時計回りになっているのを目にしたとき、
• その他腰を回しながら腕を伸縮するような身体動作をしているとき

など、回転と並進による運動を体感しているみたいですね～。。全然気にしたことなかったですが。

ロボットでも、このような回転＆並進による運動の影響は、ユーザーレベルで気にすることはほとんどないと思います。

しかし、ロボットの性能評価や動作設計をおこなう側では、例えば、

• 複数ある関節軸を同時に動かした時、各関節軸にかかる慣性負荷はどれくらいか
• 手先に液体等速度や加速度に影響を受ける物体を持たせて運ぶ時、回転と並進を伴う場合、どのような方向に動かせばよいか

などなどモデル化・定式化を考える場面で、さり気なく出てきます。

特に、下の図のようなPolar Robot(極座標型)とよばれる類のロボットは、回転と並進がわかりやすく組み合わされています。

ということで、回転と並進が組み合わさると、どのような速度・加速度をもつのか定式化してみましょう。

3. 前提

回転している軸、ここでは軸に限らず回転しているもの全般を指すように、回転系と言っておきましょうか。

回転系の上で、並進運動している座標系に働く速度と加速度を出力とします。

• 基準座標系を\( \Sigma_{0} \)、回転1と一緒に回る座標系を\( \Sigma_{1} \)、伸縮と一緒に回る座標系を\( \Sigma_{2} \)とします。
• 入力1：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{1} \)の位置\( {}^{0}{\bf p}_{1} \)（一定）
• 入力2：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{1} \)の姿勢\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)
• 入力3：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{1} \)の角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \) ( 回転軸\({}^{0}{\bf n}_{1} \), 角速度\(\dot{\theta_1}\) )
• 入力4：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{1} \)の角加速度ベクトル\( {}^{0}\dot{\bf \omega}_{1} \) ( 回転軸\({}^{0}{\bf n}_{1} \), 角速度\(\ddot{\theta_1}\) )
• 入力5：座標系\( \Sigma_{1} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置\( {}^{1}{\bf p}_{2} \)
• 入力6：座標系\( \Sigma_{1} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の姿勢\( {}^{1}{\bf R}_{2} \)（一定）
• 入力7：座標系\( \Sigma_{1} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の並進速度\( {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \)
• 入力8：座標系\( \Sigma_{1} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の並進加速度\( {}^{1}{\bf \ddot p}_{2} \)
• 入力9：座標系\( \Sigma_{2} \)から見た、座標系\( \Sigma_{2} \)と一緒に伸縮する点Pの位置ベクトル\( {}^{2}{\bf p}_{A} \)（一定）
• 出力1：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)
• 出力2：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置・姿勢の速度\( {}^{0}\dot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\dot{\bf R}_{2} \)
• 出力3：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の角加速度ベクトル\( {}^{0}\dot{\bf \omega}_{2} \)
• 出力4：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置・姿勢の加速度\( {}^{0}\ddot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\ddot{\bf R}_{2} \)
• 回転と伸縮の効果のみ注目したいので重力加速度を無視します。

4. 回転系上での伸縮における位置・姿勢の速度と加速度

座標系\(\Sigma_{0} \)基準の座標系\(\Sigma_{2} \)の位置\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)は、入力\( {}^{0}{\bf p}_{1} \)、\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{1}{\bf p}_{2} \)を用いて以下のように求まります。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf p}_{2} &=& {}^{0}{\bf p}_{1} + {}^{0}{\bf p}_{1 \rightarrow 2}  \\
&=& {}^{0}{\bf p}_{1} + {}^{0}{\bf R}_{1}{}^{1}{\bf p}_{2}
\end{array}
$$

座標系\(\Sigma_{0} \)基準の座標系\(\Sigma_{2} \)の姿勢\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)は、入力\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{1}{\bf R}_{2} \)を用いて以下のように求まります。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf R}_{2} = {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2}
\end{array}
$$

以降、この\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)の式を用います。

\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)を微分して、
入力\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)、\( {}^{1}{\bf p}_{2} \)、\( {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \)を用い、座標系\(\Sigma_{0} \)基準の座標系\(\Sigma_{2} \)の速度\( {}^{0}{\bf \dot p}_{2} \)を表すと以下のようになります。ただし、\( {}^{0}{\bf p}_{1} \)が一定値であるため、その微分値\( {}^{0}{\bf \dot p}_{1} \)は0になります。

$$
\begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf \dot p}_{2} &=& {}^{0}{\bf \dot p}_{1} + {}^{0}{\bf \dot p}_{1 \rightarrow 2} \\
&=& 0 + \frac{\rm d}{\rm dt} \left( {}^{0}{\bf R}_{1}{}^{1}{\bf p}_{2} \right) \\
&=& {}^{0}{\bf \dot R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \\
&=& [{}^{0}{\omega}_{1} \times] {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \\
&=& {}^{0}{\bf \omega}_{1}  \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2}
\end{array}
$$

座標系\( \Sigma_{0} \)基準で見た回転する座標系\( \Sigma_{2} \)の姿勢\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)の速度\( {}^{0}{\bf \dot R}_{2} \)は、入力\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{1}{\bf R}_{2} \)との関係から微分して以下のように求まります。ただし、\( {}^{1}{\bf R}_{2} \)が一定値であるため、その微分値\( {}^{1}{\dot{\bf R}}_{2} \)は0になります。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\dot{\bf R}_{2} &=& \frac{\rm d}{\rm dt} \left(  {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2} \right) \\
&=& {}^{0}{\dot{\bf R}}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\dot{\bf R}}_{2} \\
&=& [{}^{0}{\omega}_{1} \times] {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2} + 0 \\
&=& {}^{0}{\omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2} \\
&=& {}^{0}{\omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{2}
\end{array}
$$

剛体の運動(回転運動の速度・加速度・躍度)でやったように、
速度を微分することで、点の位置・姿勢の加速度を求めます。

座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置の並進加速度は以下のようになります。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\ddot{\bf p}_{2} &=& \
\frac{\rm d}{\rm dt} \left( {}^{0}{\bf \omega}_{1}  \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \right) \\
&=& {}^{0}{\bf \dot \omega}_{1}  \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{1}  \times \frac{\rm d}{\rm dt} \left( {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} \right) \
+ {}^{0}{\bf \dot R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \ddot p}_{2} \\
&=& {}^{0}{\bf \dot \omega}_{1}  \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{1}  \times \left(  {}^{0}{\bf \dot R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \right) \
+ [{}^{0}{\bf \omega}_{1} \times ] {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \ddot p}_{2} \\
&=& {}^{0}{\bf \dot \omega}_{1}  \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{1} \
\times \left(  [{}^{0}{\bf \omega}_{1} \times ] {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \right) \
+ [{}^{0}{\bf \omega}_{1} \times ] {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \ddot p}_{2} \\
&=& {}^{0}{\bf \dot \omega}_{1}  \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times \left( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} \right) \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \ddot p}_{2} \\
&=& {}^{0}{\bf \dot \omega}_{1}  \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times \left( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} \right) \
+ 2 {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \ddot p}_{2} \\
\end{array}
$$

この式のうち、ほとんどの項がこれまでノートした話に出てきていますね。

右辺第一項目は、座標系\(\Sigma_{0}\)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の、回転系の回転方向(接線方向)へ向かう接線加速度、

右辺第二項目は、座標系\(\Sigma_{0}\)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の、回転系の回転軸へ向かう求心加速度になります。

右辺第三項目は、今回初めて出てきます。一体どんな大きさと方向でしょうか、あとで說明します。

右辺第四項目は、座標系\(\Sigma_{0}\)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の、並進運動の加速度です。

一定角速度で回転し、一定並進速度で移動しているとき、第一項の角加速度、第四項の並進加速度は0になりますが、第二項の求心加速度と第三項の加速度は残ります。

また、座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の姿勢の加速度は、以下のようになります。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\ddot{\bf R}_{2} &=&  \frac{\rm d}{\rm dt} \left( {}^{0}{\omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{2} \right) \\
&=&  {}^{0}{\dot \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{2} + {}^{0}{\omega}_{1} \times {}^{0}{\bf \dot R}_{2} \\
&=&  {}^{0}{\dot \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{2} + \
{}^{0}{\omega}_{1} \times \left( {}^{0}{\omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{2} \right) \\
\end{array}
$$

この式は、同じく剛体の運動(回転運動の速度、加速度、躍度)でまとめたものと同じです。

さて、今回の主役である座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の、位置の加速度\( {}^{0}\ddot{\bf p}_{2} \)の式に現れた
第三項目

$$
2 {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2}
$$

が、一体どのような加速度なのか見てみましょう。

\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)は、座標系\( \Sigma_{0} \)から見ると回っている座標系\( \Sigma_{1} \)の、回転系の角速度ベクトルです。
その大きさは角速度\( \dot \theta \)、方向は回転軸\({}^{0}{\bf n}_{1} \)方向を指しています。

\( {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \)は、座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の、並進速度方向です。その点での移動方向ですね。

この二つの外積ということは、外積の性質上、両者に垂直な方向、
すなわち回転軸と並進移動方向の両者に垂直な方向に働く加速度になります。

その加速度の方向を、図を交えて具体的に見てみましょう。

環境に固定された基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見て、ヨー軸回転しているロボットの回転座標系\( \Sigma_{1} \)があります。
その回転座標系\( \Sigma_{1}  \)上で、姿勢はそのままで、位置だけ並進移動している手先座標系\( \Sigma_{2} \)があるとします。

基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た回転座標系\( \Sigma_{1} \)の、姿勢は\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、回転速度ベクトルは\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)、
座標系\( \Sigma_{1} \)から見た手先の座標系\( \Sigma_{2} \)の、位置は\( {}^{1}{\bf p}_{2} \)、並進速度のベクトルは\( {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \)です。

上記の図では、基準座標系\( \Sigma_{0} \)の位置が、回転座標系\( \Sigma_{1} \)からずれた場所に描いちゃっていますが、両者の位置関係はとりあえず無視してください。

基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見ると、手先の並進速度ベクトルは\( {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \)となります。

並進速度ベクトル\( {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \)を分解すると、回転速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)(回転軸)に平行な成分と、回転軸に垂直な面上に射影された方向成分に分解できます。

回転速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)と並進速度ベクトル\( {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \)の外積 \( 2 {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \) を、この分解した成分で考えると、回転軸に平行な成分との外積は０になります。そのため、並進速度ベクトルのうち、回転軸に垂直な面上に射影された方向だけ残ります。この残った射影成分を以下のように図示します。

並進速度ベクトル\( {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \)の射影成分はベクトルなので、大きさと方向さえ同じならば図のどこに平行移動してもいいので、同一平面上の回転速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)(回転軸)へと開始点を平行移動させてみます。

この図に外積 \( 2 {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \) を図示してみます。回転速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)と並進速度ベクトル\( {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \)の両方に垂直なので、平行移動した並進速度ベクトルが描く回転円に接する方向に、外積のベクトル(赤線)を描けることがわかります。

外積 \( 2 {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \) を、開始点を手先位置\( {}^{1}{\bf p}_{2} \)と共に平行移動して戻してやると、以下の図のようになります。

以上の図から分かるように、加速度 \( 2 {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \) は、常に並進速度ベクトル\({\bf \dot p}_{2} \)を、回転軸に垂直な平面上へ射影し、さらにその射影方向に対し垂直にとった方向にはたらくことを表しています。

注意が必要なのは、平行移動したことから分かるように、加速度 \( 2 {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \) は、位置\( {}^{1} {\bf p}_{2} \)(座標系\(\Sigma_{0}\)における\( {}^{0} {\bf p}_{1 \rightarrow 2} \))から、\(\Sigma_{1}\)の回転円接線方向に向いているわけではないということです。
あくまで並進速度ベクトル \( {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \) に垂直な方向であるということを誤解してはいけません。

この加速度 \( 2 {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \) は、回転系上で並進移動するときに必要になります。逆に手先座標系\(\Sigma_{2} \)から見ると、逆向きの方向の加速度 \( – 2 {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \) がはたらいているように見えます。

この手先座標系\(\Sigma_{2} \)から見た加速度が、質点に対し働くみかけの力を、コリオリの力(Coriolis force)と呼ぶそうです。

この慣性力は、ガスパール＝ギュスターヴ・コリオリ(Gaspard-Gustave Coriolis 1792年5月21日 – 1843年9月19日)さんが正式に導出したので、彼の名にちなんでコリオリの力と呼ばれるようになったそうです。物理法則に自分の名前が付くってすごいですよね。

5. まとめ(回転系上での伸縮における位置・姿勢の速度と加速度)

まとめます。

ステップ1. 座標系\(\Sigma_{0} \)基準の座標系\(\Sigma_{2} \)の位置\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)、姿勢\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)

座標系\(\Sigma_{0} \)基準の座標系\(\Sigma_{2} \)の位置\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)を、入力\( {}^{0}{\bf p}_{1} \)、\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{1}{\bf p}_{2} \)を用いて以下のように求めます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf p}_{2} = {}^{0}{\bf p}_{1} + {}^{0}{\bf R}_{1}{}^{1}{\bf p}_{2} \\
\end{array}
$$

座標系\(\Sigma_{0} \)基準の座標系\(\Sigma_{2} \)の姿勢\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)を、入力\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{1}{\bf R}_{2} \)を用いて以下のように求めます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf R}_{2} = {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2}
\end{array}
$$

ステップ2. (出力1) 座標系\(\Sigma_{0} \)基準で見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置・姿勢の速度\( {}^{0}\dot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\dot{\bf R}_{2} \)

座標系\(\Sigma_{0} \)基準で見た座標系\( \Sigma_{2}\)の位置・姿勢の速度\( {}^{0}\dot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\dot{\bf R}_{2} \)を、入力\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\({}^{1}{\bf p}_{2} \)、ステップ1で求めた\({}^{0}{\bf R}_{2} \)を用いて以下のように求めます。

$$
\begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf \dot p}_{2} &=& {}^{0}{\bf \omega}_{1}  \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2}
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\dot{\bf R}_{2} &=& {}^{0}{\omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{2}
\end{array}
$$

ステップ3. (出力2) 基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置・姿勢の加速度\( {}^{0}\ddot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\ddot{\bf R}_{2} \)

基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置・姿勢の加速度\( {}^{0}\ddot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\ddot{\bf R}_{2} \)を、入力\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\({}^{1}{\bf p}_{2} \)、\( {}^{1}\ddot{\bf p}_{2} \)、\({}^{0}{\bf \omega}_{1} \)、\({}^{0}{\bf \dot \omega}_{1} \)、ステップ1.で求めた\\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)により、以下のように求めます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\ddot{\bf p}_{2} &=& \
{}^{0}{\bf \dot \omega}_{1}  \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times \left( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2} \right) \
+ 2 {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \dot p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \ddot p}_{2} \\
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\ddot{\bf R}_{2} &=& {}^{0}{\dot \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{2} + \
{}^{0}{\omega}_{1} \times \left( {}^{0}{\omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{2} \right) \\
\end{array}
$$

6. コリオリの力の実用例

コリオリ式質量流量計

流量計といえば、自分が大学工学部１年で最初に習ったのは、
歯車式、ブローディ(BLODIE)式、ルーツ(ROOTS)式、ドラム式、オーバル式といった容量流量計、
オリフィス・ノズル、ベンチュリ管といった差圧式流量計などでしたが、
コリオリの力を利用したコリオリ式質量流量計というものもあるそうです。

曲がった(部分的に回転カーブした)管の中を通る流量が振動することでコリオリの力を発生させ、２点間の振動の変化をとり質量流量を測定するといった仕組みだそうです。

振動型ジャイロ

回転角速度を計測するジャイロセンサで、回転体上の振動に加わるコリオリの力を利用して回転角速度を測定する振動型ジャイロスコープという計測器があるそうです。

以下の図のように、多摩川精機さんのMEMSセンサには、
「速度を持った質量に角速度が加わると、速度方向と回転軸の両方に直交する方向にコリオリ力が生じる」という原理を使用して回転角速度を測定されているそうです。

ふぅ～

コリオリの力というと、
長い振り子の先につけた質量の大きいおもりに働くコリオリの力を観測することでレオン・フーコーさんが地球の自転を証明した話とか、
低気圧の移動がコリオリの力を受けて右回りの渦になる、などスケールの大きな話が例に上がるのですが、
もっと工学寄りで身近なセンサにも使われていることに目を向けたいと思い計測器での利用例を探して挙げました。

回転と伸縮が組み合わさった運動をする物体はすべてコリオリの力を受けます。
台座(または腰軸)が高速回転する回転系上で、手先の物体を高速並進移動させるなど、
ロボットの動力学でも、制御モデルの中にコリオリの力を考えておく必要があるでしょう。

以上です。

こんにちは。だいCです。

これまで一つの回転軸まわりの回転運動だけ考えてきましたが、
今回からはさらに別の回転や並進運動も複合させた運動についても考えていこうと思います。

いずれは連鎖座標系の速度・加速度としてまとめようと思いますが、
まずは、回転＆回転、回転＆並進の場合で個別に見ていこうと思います。

今回は回転＆回転についてノートします。

1. 目的

二つの回転軸まわりの回転運動における、質点の位置姿勢の速度・加速度を求める

2. 二つの回転軸まわりの回転を考える場面

二つの回転軸まわりの回転を考える場面は、いろいろあると思います。

複数関節軸をもつロボットが各軸同時に動作したときに各関節にかかる速度や加速度を知りたいとき、

順動力学について考えるときなどなど。

今回は例として、以下の図のように直交する二つの回転軸をもつロボットを考えます。

3. 前提

• 二つの回転を回転1、回転2とします。
• 基準座標系を\( \Sigma_{0} \)、回転1と一緒に回る座標系を\( \Sigma_{1} \)、回転2と一緒に回る座標系を\( \Sigma_{2} \)とします。
• 入力1：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{1} \)の位置\( {}^{0}{\bf p}_{1} \)（一定）
• 入力2：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{1} \)の姿勢\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)
• 入力3：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{1} \)の角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \) ( 回転軸\({}^{0}{\bf n}_{1} \), 角速度\(\dot{\theta_1}\) )
• 入力4：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{1} \)の角加速度ベクトル\( {}^{0}\dot{\bf \omega}_{1} \) ( 回転軸\({}^{0}{\bf n}_{1} \), 角速度\(\ddot{\theta_1}\) )
• 入力5：座標系\( \Sigma_{1} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置\( {}^{1}{\bf p}_{2} \)（一定）
• 入力6：座標系\( \Sigma_{1} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の姿勢\( {}^{1}{\bf R}_{2} \)（一定）
• 入力7：座標系\( \Sigma_{2} \)から見た、座標系\( \Sigma_{2} \)と一緒に回るある点Pの位置ベクトル\( {}^{2}{\bf p}_{A} \)（一定）
• 入力8：座標系\( \Sigma_{1} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の角速度ベクトル\( {}^{1}{\bf \omega}_{2} \) ( 回転軸\({}^{1}{\bf n}_{2} \), 角速度\(\dot{\theta_2}\) )
• 入力9：座標系\( \Sigma_{1} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の角加速度ベクトル\( {}^{1}\dot{\bf \omega}_{2} \) ( 回転軸\({}^{1}{\bf n}_{2} \), 角速度\(\ddot{\theta_2}\) )
• 出力1：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)
• 出力2：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置・姿勢の速度\( {}^{0}\dot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\dot{\bf R}_{2} \)
• 出力3：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の角加速度ベクトル\( {}^{0}\dot{\bf \omega}_{2} \)
• 出力4：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置・姿勢の加速度\( {}^{0}\ddot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\ddot{\bf R}_{2} \)
• 二つの回転の効果のみ注目したいので重力加速度を無視します。無重力状態でロボットを動かしているとしましょう。

4. 準備

座標系\(\Sigma_{1}\)基準の座標系\(\Sigma_{2}\)への相対的なベクトルを、座標系\(\Sigma_{0}\)基準に変換すると以下のようになります。

$$
{}^{0}{\bf p}_{1 \rightarrow 2} = {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf p}_{2}
$$

角速度ベクトル\(\bf \omega\)についても同じことがいえます。

$$
{}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} = {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \omega}_{2}
$$

剛体の運動(回転行列の速度とは)でノートしましたが、
ある位置の点\(\bf p\)とその姿勢\( \bf R \)が角速度ベクトル\(\bf \omega \)で回転すると、その位置と姿勢の速度(\( \dot{\bf p} \), \( \dot{\bf R} \))は以下のように表すことができたのでした。

$$ \begin{array}{rcl}
{\dot {\bf p}} &=&  {\bf \omega} \times {\bf p}
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{rcl}
{\dot {\bf R}} &=& [{\bf \omega} \times] {\bf R} \\
&=& {\bf \omega} \times {\bf R}
\end{array}
$$

5. 二つの回転軸まわりの回転における位置・姿勢の速度と加速度

座標系\(\Sigma_{0} \)基準の座標系\(\Sigma_{2} \)の位置\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)は、入力\( {}^{0}{\bf p}_{1} \)、\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{1}{\bf p}_{2} \)を用いて以下のように求まります。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf p}_{2} &=& {}^{0}{\bf p}_{1} + {}^{0}{\bf p}_{1 \rightarrow 2}  \\
&=& {}^{0}{\bf p}_{1} + {}^{0}{\bf R}_{1}{}^{1}{\bf p}_{2}
\end{array}
$$

座標系\(\Sigma_{0} \)基準の座標系\(\Sigma_{2} \)の姿勢\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)は、入力\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{1}{\bf R}_{2} \)を用いて以下のように求まります。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf R}_{2} = {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2}
\end{array}
$$

以降、この\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)を用います。

準備で述べたとおり、座標系\(\Sigma_{1} \)基準で見た回転する座標系\( \Sigma_{2}\)の相対的な回転速度ベクトル\( {}^{1}{\bf \omega}_{2} \)は、
座標系\(\Sigma_{0} \)基準\( {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \)に変換すると以下のようになります。

$$
{}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} = {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \omega}_{2}
$$

これを用いて、座標系\(\Sigma_{0} \)基準で見た回転する座標系\( \Sigma_{2}\)の回転速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)は、ベクトルの合成により以下のように表せます。

$$
{}^{0}{\bf \omega}_{2} = {}^{0}{\bf \omega}_{1} + {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2}
$$

準備で述べたとおり、
座標系\( \Sigma_{0} \)基準で見た回転する座標系\( \Sigma_{2} \)上の位置の点\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)とその姿勢\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)が角速度ベクトル\({}^{0}{\bf \omega}_{2} \)で回転したとき、
その位置と姿勢の速度(\( {}^{0}{\dot{\bf p}}_{2} \), \( {}^{0}{\dot{\bf R}}_{2} \))は、それらの外積で求まるため、以下のように表せます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\dot {\bf p}}_{2} &=& {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times {}^{0}{\bf p}_{2} \\ 
&=& {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times ( {}^{0}{\bf p}_{1} + {}^{0}{\bf p}_{1 \rightarrow 2} + {}^{0}{\bf p}_{2 \rightarrow 2} ) \\
&=& {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times {}^{0}{\bf p}_{1 \rightarrow 2} + {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times {}^{0}{\bf p}_{2 \rightarrow 2} \\
&=& ( {}^{0}{\bf \omega}_{1} + {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} ) \times {}^{0}{\bf p}_{1 \rightarrow 2} + ( {}^{0}{\bf \omega}_{1} + {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} ) \times {}^{0}{\bf p}_{2 \rightarrow 2} \\
&=& {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf p}_{1 \rightarrow 2}
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\dot{\bf R}_{2} &=& {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times {}^{0}{\bf R}_{2}
\end{array}
$$

ただし注意が必要な点として、角速度ベクトル \({\bf \omega}_{2}\) によって発生する並進速度 \({}^{0}{\dot {\bf p}}_{2}\) は、位置 \({}^{0}{\bf p}_{2} = {}^{0}{\bf p}_{1} + {}^{0}{\bf p}_{1 \rightarrow 2} + {}^{0}{\bf p}_{2 \rightarrow 2}\) の変位成分のうち角速度ベクトル \({\bf \omega}_{2}\) の回転を受ける成分のみです。 \({}^{0}{\bf p}_{1}\) は回転前の変位であるため関与しません。発生する速度はゼロです。\({}^{0}{\bf p}_{1 \rightarrow 2}\) は、角速度ベクトル \({}^{0}{\bf \omega}_{2}\)のうち \({}^{0}{\bf \omega}_{1}\) の回転を受けますが、 \({}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2}\) については座標系 \(\Sigma_{2}\) 以降の回転でありこれには関与しません。 \({}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2}\) の回転を受けるのは \({}^{0}{\bf p}_{2 \rightarrow 2}\) ですが、これは座標系 \(\Sigma_{2}\) 原点であり変位がゼロであるため速度もゼロです。

少し補足になりますが、導出の順序を入れ替えて、\({}^{0}{\bf R}_{2}\)の入力\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{1}{\bf R}_{2} \)との関係から微分して、\({}^{0}{\bf \omega}_{2}\)を導出することもできます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\dot{\bf R}_{2} &=& \frac{d}{dt} \left(  {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2} \right) \\
&=& {}^{0}{\dot{\bf R}}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\dot{\bf R}}_{2} \\
&=& [{}^{0}{\omega}_{1} \times] {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} [{}^{1}{\omega}_{2} \times]{}^{1}{\bf R}_{2} \\
&=& [{}^{0}{\omega}_{1} \times] {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2} +  [ \left( {}^{0}{\bf R}_{1}{}^{1}{\omega}_{2} \right) \times] {}^{0}{\bf R}_{1}{}^{1}{\bf R}_{2} \\
&=& [{}^{0}{\omega}_{1} \times] {}^{0}{\bf R}_{2} +  [ {}^{0}{\omega}_{1 \rightarrow 2} \times] {}^{0}{\bf R}_{2} \\
&=& [\left( {}^{0}{\omega}_{1} + {}^{0}{\omega}_{1 \rightarrow 2} \right) \times] {}^{0}{\bf R}_{2} \\
&=& [{}^{0}{\bf \omega}_{2} \times] {}^{0}{\bf R}_{2} \\
&=& {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times {}^{0}{\bf R}_{2}
\end{array}
$$

外積と行列の性質から、第三式目から第四式目の変形でだいぶトリッキーな計算をしていますが、第六式目から第七式目の変形より、

$$
{}^{0}{\bf \omega}_{2} = {}^{0}{\bf \omega}_{1} + {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2}
$$

と表すことができました。補足終わりです。

剛体の運動(回転運動の速度・加速度・躍度)でやったように、
速度を微分することで、点の位置・姿勢の加速度を求めます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\ddot{\bf p}_{2} &=& \
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{2} \times {}^{0}{\bf p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times \left( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times {}^{0}{\bf p}_{2} \right) \\
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\ddot{\bf R}_{2} &=& \
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{2} \times {}^{0}{\bf R}_{2} \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times \left( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times {}^{0}{\bf R}_{2} \right) \\
\end{array}
$$

第二項目は上で求めた\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)、\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)により求められます。加速方向はベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)軸に向かう方向で、求心加速度です。

第一項目の角加速度\( {}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{2} \)について、さらに、角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)を\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)、\( {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \)に分解して求めてみます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{2} \
&=& \
\frac{d}{dt} \left( {}^{0}{\bf \omega}_{1} + {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \right) \\
&=& \
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{1} + {}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{1 \rightarrow 2} \\
&=& \
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{1} + \frac{d}{dt} \left( {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \omega}_{2} \right) \\
&=& \
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{1} + {}^{0}{\dot{\bf R}}_{1} {}^{1}{\bf \omega}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\dot{\bf \omega}}_{2} \\
&=& \
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{1} + {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \omega}_{2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\dot{\bf \omega}}_{2} \\
&=& \
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{1} + {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\dot{\bf \omega}}_{2} \\
\end{array}
$$

第一項目は、座標系\( \Sigma_{0} \)基準の座標系\( \Sigma_{1} \)の角加速度、
第三項目は、座標系\( \Sigma_{1} \)基準の座標系\( \Sigma_{2} \)の角加速度を、座標系\( \Sigma_{0} \)基準に変換したものといえます。
第二項目は、入力の角速度\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)と\( {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \)の外積になっています。回転1と回転2が一定角速度で回転する場合、第一項目、第三項目のような角加速度は0になりますが、第二項目の加速度は残ります。
この第二項目の角加速度\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \)の意味について考えてみましょう。

以下の図に、ある点\( {}^{0}{\bf p} \)に働く加速度\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \)(図中オレンジ)のイメージを描いてみました。

角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)の回転1の運動と、その回転(座標系\( \Sigma_{1} \))上で角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \)(座標系\( \Sigma_{0} \)基準)まわりに回転する回転2の運動が合成されて、結果として角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)まわりに回転しているとします。

点Pを合成の角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)まわりに回転するには、図中紫色のベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)と青色のベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \)まわりにそれぞれ回転するための加速度を必要とし、さらに両方の角速度ベクトルに直交するオレンジ色のベクトル軸(奥へと中心を貫通してる矢印)まわりの加速度を必要とします。

この加速度は、図中点Pから出るオレンジ色の矢印によって表されています。
分解すると、図の上方向である回転1の角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)軸方向と、その回転円接線方向にそれぞれ働く加速度が点Pには必要だとわかります。

無重力状態で質量をもった物体が同じ２軸の回転運動をした時、この点Pから出るオレンジ色方向の必要な加速度(力)を与えないと、その反対方向に慣性力が働き、合成された回転の角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)の軸を回転1のベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)方向に戻そうとしてしまいます。
すなわち回転2を打ち消す加速度(力)が働きます。
この物理現象をジャイロ効果(gyro effect)と呼ぶそうです。

重力下だと、図中点Pから出るオレンジ色の矢印の、分解した上方向の力と重力が一部相殺され、回転円接線方向のみ残るため、合成された回転の角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)の軸を、ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)軸まわりに回転させる力が働くことがわかります。
これが独楽(こま)などの歳差運動(precession)の原理です。

6. まとめ(二つの回転軸まわりの回転運動における、質点の位置姿勢の速度・加速度)

まとめます。

ステップ1. 座標系\(\Sigma_{0} \)基準の座標系\(\Sigma_{2} \)の位置\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)、姿勢\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)

座標系\(\Sigma_{0} \)基準の座標系\(\Sigma_{2} \)の位置\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)を、入力\( {}^{0}{\bf p}_{1} \)、\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{1}{\bf p}_{2} \)を用いて以下のように求めます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf p}_{2} = {}^{0}{\bf p}_{1} + {}^{0}{\bf R}_{1}{}^{1}{\bf p}_{2} \\
\end{array}
$$

座標系\(\Sigma_{0} \)基準の座標系\(\Sigma_{2} \)の姿勢\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)を、入力\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{1}{\bf R}_{2} \)を用いて以下のように求めます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf R}_{2} = {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf R}_{2}
\end{array}
$$

ステップ2. 座標系\(\Sigma_{0} \)基準で見た座標系\( \Sigma_{1}\)から\( \Sigma_{2}\)への相対的な角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \)

座標系\(\Sigma_{0} \)基準で見た座標系\( \Sigma_{1}\)から座標系\( \Sigma_{2}\)への相対的な回転速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \)を、入力\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\({}^{1}{\bf \omega}_{2} \)を用いて以下のように求めます。

$$
{}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} = {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\bf \omega}_{2}
$$

ステップ3. (出力1) 基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)

座標系\(\Sigma_{0} \)基準で見た回転する座標系\( \Sigma_{2}\)の回転速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)を、入力\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)とステップ2.で求めた\( {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \)のベクトルの合成により、以下のように求めます。

$$
{}^{0}{\bf \omega}_{2} = {}^{0}{\bf \omega}_{1} + {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2}
$$

ステップ4. (出力2) 基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置・姿勢の速度\( {}^{0}\dot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\dot{\bf R}_{2} \)

基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置・姿勢の速度\( {}^{0}\dot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\dot{\bf R}_{2} \)を、ステップ1.で求めた\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)、ステップ3.で求めた\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)により、以下のように求めます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\dot {\bf p}}_{2} &=&  {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times {}^{0}{\bf p}_{2} \\
&=& {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf p}_{1 \rightarrow 2}
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\dot{\bf R}_{2} &=& {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times {}^{0}{\bf R}_{2}
\end{array}
$$

ステップ5. (出力3) 基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の角加速度ベクトル\( {}^{0}\dot{\bf \omega}_{2} \)

基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の角加速度ベクトル\( {}^{0}\dot{\bf \omega}_{2} \)を、入力\( {}^{0}{\bf R}_{1} \)、\( {}^{0}{\bf \omega}_{1} \)、\( {}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{1} \)、\( {}^{1}{\dot{\bf \omega}}_{2} \)と、ステップ2.で求めた\(  {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \)により、以下のように求めます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{2} \
&=& \
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{1} + {}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} + {}^{0}{\bf R}_{1} {}^{1}{\dot{\bf \omega}}_{2} \\
\end{array}
$$

回転１と回転２が等角速度で回転するとき、\( {}^{0}\dot{\bf \omega}_{2} \)は、以下のように第二項目のジャイロ効果のみになります。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{2} \
&=& \
{}^{0}{\bf \omega}_{1} \times {}^{0}{\bf \omega}_{1 \rightarrow 2} \\
\end{array}
$$

ステップ6. (出力4) 基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置・姿勢の加速度\( {}^{0}\ddot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\ddot{\bf R}_{2} \)

基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{2} \)の位置・姿勢の加速度\( {}^{0}\ddot{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}\ddot{\bf R}_{2} \)を、ステップ1.で求めた\( {}^{0}{\bf p}_{2} \)、\( {}^{0}{\bf R}_{2} \)、ステップ3.で求めた\( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \)、ステップ5.で求めた\( {}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{2} \) により、以下のように求めます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\ddot{\bf p}_{2} &=& \
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{2} \times {}^{0}{\bf p}_{2} \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times \left( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times {}^{0}{\bf p}_{2} \right) \\
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\ddot{\bf R}_{2} &=& \
{}^{0}{\dot{\bf \omega}}_{2} \times {}^{0}{\bf R}_{2} \
+ {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times \left( {}^{0}{\bf \omega}_{2} \times {}^{0}{\bf R}_{2} \right) \\
\end{array}
$$

以上でまとめは終わりです。

7. ジャイロ効果の参考動画

YouTubeを漁るとジャイロ効果に関連する動画はたくさんありますね。ググってすぐ出てきたのをいくつかピックアップしときます。

無重力下の実験動画

NASAの宇宙飛行士Michael E. Fossumさんが、宇宙船での無重力下でジャイロ効果を解説してくれています。
ジャイロ効果により、二つ目の回転が打ち消され、元の回転軸方向に戻ろうとしているのが分かると思います。

3Dモデルで直交２軸回転のジャイロ効果の解説

直感的でわかりやすい動画だったので挙げさせてもらいました。
この動画をアップロードされたJeff Kosmoskiさんは、ググるとKOZM Guitarsというギターのデザイナさんみたいですね。
数式も使わず解説してくれていて、わかりやすいです。

重力下のジャイロ効果いろいろ

重力下のジャイロ効果を応用して、コマの支点に重心位置を合わせたマクスウェルの独楽なんておもちゃもあります。

回転が速いと、支点から重心を結ぶ軸に対し、ジャイロ効果が重力に勝り、その軸を起き上げる方向に力が働き、重心が上に移動する、という現象を逆立ち独楽を分かりやすくして実験してくれてる以下の動画もありました。

あまりこのページでは触れませんが、ジャイロ効果は回転と質量で働く慣性モーメントとして働きます。
逆立ち独楽と同じように、回転している物体が重力を打ち消す現象をわかりやすく試してくれてる動画もありました。
実はこれは、自転車が倒れない仕組みでもあるんですね。

これら不思議な現象も、回転の原理が分かると見てて面白いですね。

リアクションホイール

ジャイロ効果は、宇宙空間の人工衛星の運動制御や、一部移動ロボットの姿勢制御で使われたりします。

最近だとJAXAが三軸姿勢制御モジュールという箱を開発したという記事を見かけたりしましたが、
下にもうちょっと先に記事で見かけたチューリッヒ工科大学(ETH zurich)が開発したCubliを上げておきます。
詳しくはCubliのページで。

このようにジャイロ効果を応用して、機体内部に十分な質量を持ち回転エネルギーをもつ円盤などの回転体(フライホイール)を速度制御して、重心姿勢を制御する装置をリアクションホイールというそうです。

リアクションホイールを使ったロボットといえば、自分の中で一番最初に上がるのは、やはりムラタセイサク君ですね。
「リアクションホイール」という言葉自体、ムラタセイサク君の紹介を見て初めて知った覚えがあります。

ふう、、

今回は、ジャイロ効果の說明をノートしたのですが、関連動画が多めになってしまいました。
他にもブーメランの原理や、ジャイロ効果で遠方まで飛ぶX-Zylo(WMC(William Mark Corporation)製)というおもちゃにも触れたかったのですが、割愛します。

ジャイロ効果の現象は、回転運動の中でも非常に面白い話だと思います。

今回は以上です

こんにちは。だいCです。

今回は回転運動によって発生する、直交座標空間上の速度、加速度、躍度についてノートします。

1. 目的

一つの回転軸まわりの回転運動における、質点の位置姿勢の速度、加速度、躍度を求める

2. 前提

• 運動対象：ある点Pとします。
• 基準座標系：\( \Sigma_{0} \)とします。
• 運動対象の表現：基準座標系\( \Sigma_{0} \)から見た点Pの位置ベクトル\( {}^{0}{\bf p} \)で表現します。
• 入力1(予め既知の情報)：点Pの位置\( {}^{0}{\bf p} \)
• 入力2(予め既知の情報)：角速度ベクトル\( \bf \omega \)(回転軸ベクトル\( \bf n \)、角速度\(\dot{\theta}\) )
• 入力3(予め既知の情報)：角加速度ベクトル\( \dot{\bf \omega} \)(回転軸ベクトル\( \bf n \)、角加速度\(\ddot{\theta}\) )
• 入力4(予め既知の情報)：角躍度ベクトル\( \ddot{\bf \omega} \)(回転軸ベクトル\( \bf n \)、角躍度\( {\theta}^{(3)} \) )
• 出力1(今回算出する情報)：点Pの速度\( {}^{0}\dot{\bf p} \)
• 出力2(今回算出する情報)：点Pの加速度\( {}^{0}\ddot{\bf p} \)
• 出力3(今回算出する情報)：点Pの躍度\( {}^{0}{\bf p}^{(3)} \)

剛体の運動(回転行列の速度とは)で說明しましたが、
\( {}^{0}{\bf p} \)は、基底ベクトル\( {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}}\), \( {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}}\), \( {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}}\)について考えるのと同じです。

3. 線形写像―微分

微分して求めていきます。

• 速度は位置の微分
• 加速度は速度の微分
• 躍度は加速度の微分

今回座標系はあまり気にしない話ですが、

一応基準座標系\( O\)を変数左上に記述しておきます。

4. 回転運動の速度

回転行列の基底ベクトルの回転速度について考えた時と同じです。

おさらいになりますが、一つの回転軸による回転の角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega} \)により、点Pの速度\( {}^{0}{\dot{\bf p}} \)は以下の式で表されます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\dot{\bf p}} &=& {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \\
&=& [{}^{0}{\bf \omega} \times] {}^{0}{\bf p}
\end{array}
$$

ここで、この速度の方向と大きさについて見てみましょう。

２つのベクトルの外積をとると、

・方向が両ベクトルに直交し且つ掛ける順の右ねじ回転で進む方向となり、

・大きさがその２つのベクトルが張る平行四辺形の面積となるベクトルとなるのでした。

また、大きさ1の回転軸ベクトル\( {}^{0}{\bf n} \)、回転角\( \theta \)により、角速度ベクトルは \( {}^{0}{\bf \omega} = \dot{\theta} {}^{0}{\bf n} \)という定義でした。

以上を踏まえて、速度ベクトル\( {}^{0}{\dot{\bf p}} = {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \)の大きさと方向は以下のようになります。

• 方向は、角速度ベクトル\( {}^{0}{\bf \omega} \)の方向=回転軸ベクトル\( \bf n \)の方向と、回転対象の点Pの位置ベクトル\( {}^{0}{\bf p} \)が直交する方向になります。
• 大きさは、回転軸\( {}^{0}{\bf n} \)と位置ベクトル\( {}^{0}{\bf p} \)のなす角を\( \alpha \)とすると、
  $$
  |{}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p}| = |{}^{0}{\bf \omega}| |{}^{0}{\bf p}| |{\rm sin}\alpha| = |{\dot{\theta} {}^{0}{\bf n} }| |{}^{0}{\bf p}| |{\rm sin}\alpha| = |\dot{\theta}| |{}^{0}{\bf p}| |{\rm sin}\alpha|
  $$
  さらに点Pと回転軸(直線)の距離 \( r := |{}^{0}{\bf p}| {\rm sin}\alpha \) と置くと、結局大きさは\( |\dot{\theta}| |r| \)となります。

5. 回転運動の加速度

加速度\( {}^{0}{\ddot{\bf p}} \)は、速度\( {}^{0}{\dot{\bf p}} \)の微分により以下のように求まります。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\ddot{\bf p}} &=& \frac{d {}^{0}{\dot{\bf p}} }{dt} \\
&=& \frac{d}{dt} \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \right) \\
&=& \frac{d}{dt} \left( {}^{0}{\bf \omega} \right) \times {}^{0}{\bf p} + {}^{0}{\bf \omega} \times \frac{d}{dt} \left({}^{0}{\bf p} \right) \\
&=& {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\dot{\bf p}} \\
&=& {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \right)
\end{array}
$$

ここで、この加速度\( {}^{0}{\ddot{\bf p}} \)の方向と大きさについて見てみましょう。

まず、右辺の第一項、第二項がどのような方向と大きさを指しているか見てみます。

1. 右辺第一項\( {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} \)について。
   角速度の微分は\( {}^{0}{\dot{\bf \omega}} =  \ddot{\theta} {}^{0}{\bf n} \)であり、角速度ベクトルに対し方向は、同じ回転軸ベクトル\( {}^{0}{\bf n} \)方向で、大きさが\( \dot{\theta} \)から\( \ddot{\theta} \)に変化したものだとわかります。よって\( {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} \)は、
   ・方向は、前節の速度方向と同じ
   ・大きさは、\( \left| {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} \right| = |\ddot{\theta}| |r| \)
   となります。
   ちなみに、物理学の教科書や金宮先生(Dragomir N, Nenchev先生)の著書「英語で学ぶロボット工学 ― 運動学，動力学と制御」にもありますが、この加速度のことをtrransverse acceleration(横加速度,オイラー加速度,方位加速度,接線加速度)というそうです(みかけの加速度の呼び名と混同しているかもしれません)。
2. 右辺第二項\( {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \right) \)について。
   ・方向は、前節で見た速度方向と回転軸に直交する方向、さらに言うと軸方向→速度方向へ右ねじに回転させて進む向き、すなわち、点Pから回転軸方向へ垂直に向かう方向となります。
   ・大きさは、\( {}^{0}{\bf \omega} \)と\( \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \right) \)のなす角は直交するから\( 90^\circ \)なので、
   $$ \begin{array}{rcl}
   \left| {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \right) \right| &=& |{}^{0}{\bf \omega}| |{}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p}| |{\rm sin} 90^\circ| \\
   &=& |\dot{\theta}|\  |\dot{\theta}| |r| \\
   &=& \dot{\theta}^2|r|
   \end{array}
   $$
   となります。
   ちなみにこの加速度は、高校や大学の物理学とかいろんな教科書に出てるようにcentripetal acceleration(求心加速度、向心加速度)というそうです。高校物理だとtransverseの方は習わずこっちしか習わなかったように覚えています。

以上により、

• 加速度\( {}^{0}{\ddot{\bf p}} \)の方向は、もう言葉で說明するのはキツイので、以下のように図に描いてみました。

  

• 加速度\( {}^{0}{\ddot{\bf p}} \)の大きさは、右辺第一項、第二項が作る長方形の対角線なので、三平方の定理で出せそうですね。
  大きさについて分解方向で触れている教科書はあるものの、一つに合わせた大きさについて触れているものがないので自己流で以下のように求めました。もし間違ってたらゴメンナサイ。
  $$  \begin{array}{rcl}
  |{}^{0}{\ddot{\bf p}}| &=& \sqrt{ \left| {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} \right|^2 + \left| {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \right) \right|^2 } \\
  &=& \sqrt{ \left( |\ddot{\theta}| |r| \right)^2 + \left( \dot{\theta}^2|r| \right)^2 } \\
  &=& |r| \sqrt{ \ddot{\theta}^2 + \dot{\theta}^4 }
  \end{array} $$

6. 回転運動の躍度

躍度\( {}^{0}{{\bf p}^{(3)}} \)は、加速度\( {}^{0}{\ddot{\bf p}} \)の微分により以下のように求まります。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{{\bf p}^{(3)}} &=& \frac{d {}^{0}{\ddot{\bf p}} }{dt} \\
&=&  \frac{d}{dt} \left( {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\dot{\bf p}} \right) \\
&=& {}^{0}{\ddot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\dot{\bf p}}
+ {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\dot{\bf p}} +  {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\ddot{\bf p}}  \\
&=& {}^{0}{\ddot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + 2{}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\dot{\bf p}} + {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\ddot{\bf p}} \\
&=& {}^{0}{\ddot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + 2{}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{{\bf p}} \right)
+ {}^{0}{\bf \omega} \times
\left( {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \right) \right) \\
&=& {}^{0}{\ddot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + 2{}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{{\bf p}} \right)
+ {}^{0}{\bf \omega} \times
\left( {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p}
+ \left( {}^{0}{\bf \omega}^{\rm T} {}^{0}{\bf p} \right) {}^{0}{\bf \omega}\ – \ {}^{0}{\bf \omega}^{2}\ {}^{0}{\bf p}  \right) \\
&=& {}^{0}{\ddot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + 2{}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{{\bf p}} \right)
+ {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} \right )
+ \left( {}^{0}{\bf \omega}^{\rm T} {}^{0}{\bf p} \right) {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf \omega}
\ – \ {}^{0}{\bf \omega}^{2}\  {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \\
&=& {}^{0}{\ddot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + 2{}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{{\bf p}} \right)
+ {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} \right )
\ – \ {}^{0}{\bf \omega}^{2}\  {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p}
\end{array}
$$

第5式目から第6式目の変形では、外積の公式

$$
{\bf a} \times \left( {\bf b} \times {\bf c} \right) = \left( {\bf a}^{\rm T} {\bf c} \right) {\bf b}\ -\ \left( {\bf a}^{\rm T} {\bf b} \right) {\bf c}
$$

を使っています(これでカッコ部分はスカラーになるので、ベクトルどうしの外積の対象から外してます)。
また、第7式目から第8式目の変形では、同じベクトルどうしの外積はゼロになる性質、

$$
{}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf \omega} = {\bf 0}
$$

を使っています。

7. 等角速回転運動(角速度が一定)の場合

角速度が一定だと\( \ddot{\theta} = 0 \)、\({}^{0}\dot{\bf \omega} = {\bf 0}\)になります。

これを踏まえて上述した式を見てみましょう。

高校物理で習ったように、速度、加速度、躍度は次のようになります。

7.1. 等角速回転運動のときの速度

上述した\( \dot{{}^{0}{\bf p}}\)と同じ式で表されます。方向も大きさも同じように表せます。

7.2. 等角速回転運動のときの加速度

等速回転運動の場合、\({}^{0}\dot{\bf \omega} = {\bf 0}\)になるため、加速度は、回転軸に向かう方向の求心加速度になります。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\ddot{\bf p}} &=& \frac{d {}^{0}{\dot{\bf p}} }{dt} \\
&=&  {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \right)
\end{array}
$$

• 方向は回転軸に向かう方向で以下の図のようになります。

  

• 大きさは\( \ddot{\theta} = 0 \)より、
  $$
  |{}^{0}{\ddot{\bf p}}| = \dot{\theta}^2|r|
  $$
  です。

7.3. 等角速回転運動のときの躍度

\( \ddot{\theta} = 0 \)、\({}^{0}\dot{\bf \omega} = {\bf 0}\)となるため、躍度は以下のようになります。

$$
{}^{0}{{\bf p}^{(3)}} = \ – \ {}^{0}{\bf \omega}^{2}\  {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p}
$$

• 方向は\( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \)のマイナス定数倍なので、速度と平行で逆方向の向きになります。
• 大きさは
  $$ \begin{array}{rcl}
  | {}^{0}{{\bf p}^{(3)}} | &=& | {}^{0}{\bf \omega}^{2} | \left| {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \right| \\
  &=& |\dot{\theta}^{2}| |\dot{\theta}||r| \\
  &=& |\dot{\theta}^{3}| |r|
  \end{array}
  $$
  です。

8. まとめ(一つの回転軸まわりの回転運動における、質点の位置姿勢の速度、加速度、躍度)

8.1. ある点Pの回転運動

まとめます。

ある点Pの回転運動の速度\( {}^{0}{\dot{\bf p}} \)

$$
{}^{0}{\dot{\bf p}} = {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p}
$$

ある点Pの回転運動の加速度\( {}^{0}{\ddot{\bf p}} \)

$$
{}^{0}{\ddot{\bf p}} = {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \right)
$$

ある点Pの回転運動の躍度\( {}^{0}{{\bf p}^{(3)}} \)

$$
{}^{0}{{\bf p}^{(3)}} = {}^{0}{\ddot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} + 2{}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \right)
+ {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf p} \right )
\ – \ {}^{0}{\bf \omega}^{2}\  {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p}
$$

基底ベクトルの回転運動

冒頭に述べたとおり、
ある点Pのベクトル\( {}^{0}{\bf p} \)は、基底ベクトル\( {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}}\), \( {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}}\), \( {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}}\)に置き直しても同じです。

基底ベクトルの回転運動の速度

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\dot{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} &=& {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} \\
{}^{0}\dot{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} &=& {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} \\
{}^{0}\dot{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} &=& {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}}
\end{array}
$$

基底ベクトルの回転運動の加速度

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}\ddot{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} &=& {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} \
+ {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} \right) \\
{}^{0}\ddot{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} &=& {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} \
+ {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} \right) \\
{}^{0}\ddot{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} &=& {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} \
+ {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} \right)
\end{array}
$$

基底ベクトルの回転運動の躍度

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}}^{(3)} &=& {}^{0}\ddot{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}}
+ 2{}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} \right)
+ {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}\dot{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} \right )
\ – \ {}^{0}{\bf \omega}^{2}\  {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} \\
{}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}}^{(3)} &=& {}^{0}\ddot{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}}
+ 2{}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} \right)
+ {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} \right )
\ – \ {}^{0}{\bf \omega}^{2}\  {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} \\
{}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}}^{(3)} &=& {}^{0}\ddot{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}}
+ 2{}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} \right)
+ {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}\dot{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} \right )
\ – \ {}^{0}{\bf \omega}^{2}\  {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} \\
\end{array}
$$

8.3. 姿勢の回転運動

基底ベクトルの回転速度、加速度を図に表すとこんな感じでしょうか(イメージです)。

以前、剛体の運動(回転行列の速度とは)にて、
回転行列は、基底ベクトル\( {}^{0}{ \bf  e}_{x} \), \( {}^{0}{ \bf  e}_{y} \), \( {}^{0}{ \bf  e}_{z} \)が回転したベクトル\( {}^{0}{ \bf  x}_{ {}^{0}{ \bf  e}_{x} } \), \( {}^{0}{ \bf  y}_{ {}^{0}{ \bf  e}_{y} } \), \( {}^{0}{ \bf  z}_{ {}^{0}{ \bf  e}_{z} } \)により構成されるとノートしました。

$$
{}^{0}{ \bf R}(t) = \left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}{ \bf  x}_{ {}^{0}{ \bf  e}_{x} }  & {}^{0}{ \bf  y}_{ {}^{0}{ \bf  e}_{y} } & {}^{0}{ \bf  z}_{ {}^{0}{ \bf  e}_{z} }
\end{array} \right]
$$

また、回転行列\( {}^{0}{ \bf R}(t) \)は時刻\( t \)での姿勢を表しているとノートしました。

前述の基底ベクトルの速度、加速度の導出を踏まえると、
一つの回転軸まわりに回転する時の、姿勢の速度\( {}^{0}\dot{ \bf R}(t) \)、加速度\( {}^{0}\ddot{ \bf R}(t) \)、躍度\( {}^{0}{\bf R}^{(3)}(t) \)も同様に表すことができます。

姿勢の速度

$$
{}^{0}\dot{\bf R}(t) = {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf R}(t)
$$

姿勢の加速度

$$
{}^{0}\ddot{\bf R}(t) = {}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times {}^{0}{\bf R}(t) \
+ {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf R}(t) \right)
$$

姿勢の躍度

$$
{}^{0}{\bf R}^{(3)}(t) = {}^{0}\ddot{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf R}(t)
+ 2{}^{0}{\dot{\bf \omega}} \times \left( {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf R}(t) \right)
+ {}^{0}{\bf \omega} \times \left( {}^{0}\dot{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf R}(t) \right )
\ – \ {}^{0}{\bf \omega}^{2}\  {}^{0}{\bf \omega} \times {}^{0}{\bf R}(t)
$$

ふぅ～。。

この辺は回転運動の話でよく出る話ですね。

記述の仕方はそれぞれ違うかと思われますが、角加速時と等角速時の両方ちゃんと書いておくと、

「もしこんな加速度で運動させるとき、位置、速度をどう設定して動作軌道をつくるか」

みたいなことを考えるとき役立つと思います。

以上です。

こんにちは、だいCです。

剛体の運動について、回転に関する話ばかり書いています。

剛体の運動方向の自由度は、「位置」と「姿勢」の２種類で表現してます。

回転方向の自由度を「姿勢」と呼んでいます。

この「姿勢」という言葉は英語だとorientationですかね。

ロボットの全関節角セットで定まる格好を「姿勢」ということもあります。

こちらは英語だとposeですかね。

ややこしいですね。

今回は、姿勢のオフセットについてノートしていきます。

いきなり姿勢のオフセットといわれても話が見えないので、まず目的を述べる前に、例となるお話を先に書きます。

1. 姿勢のオフセットを考える場面

普通売られているマニピュレータには、操作ソフトも付属しており、

ユーザは手先の位置・姿勢を直交座標空間で操作することができます。

内部では、コントローラが手先位置姿勢から各関節指令角へ自動で変換して動かしてくれます。

ユーザは、手先の運動だけ見て動かせるのです。

イメージとして、下のようなマニピュレータの手先に吸着ハンドが付いている絵を描いてみました。
（３本飛び出してる棒に吸盤みたいなものが付いててそこから吸引するよーな、そんなイメージで描いた絵です。。伝わりにくかったらゴメンナサイ）

マニピュレータの前には、ハンドで把持する物体が置かれています。
（よだれ垂らした直方体みたいなやつがそれです。。）

ユーザは、この手先についた吸着パッドをうまく物体の面に押し当てて、どっか後ろにつながったポンプの空気圧から生じた吸引力により、物体を吸引して掴み取ろうとしています。

ユーザが、手元にコントローラのようなものを持って、直接ジョグ操作（ボタンを押している間ずっと微量ずつ動かせるような操作、ジョギング操作ともいう）をする場合も考えられます。

そうではなく、ここでは、ロボットがビジョンセンサ等を利用し、物体を自動で認識し、自動で物体をつかむことができるソフトが用意されているとします。

下の絵のように、吸着ハンドにビジョンセンサが取り付けられているとします。
（ハンドの真ん中に描き足したのが、ビジョンセンサ(カメラ・レンズのイメージ)のつもりです。。妄想なのでテキトーです）

ビジョンセンサで撮像した物体の映像から、ビジョンの認識技術により物体の位置姿勢を３次元認識できるとします。
（さらっと仮定しましたが、これだけでコンピュータビジョン（画像処理と認識）の難しいお話が出てきます。本題から逸れるので省略します。）

ビジョンソフトは、ロボットのソフトとは別途用意したとします。

ビジョンでは普通、物体の３次元認識の結果を、センサの座標系基準で得られます。
(カメラだと本体内の、レンズ～受光センサ～基板のどこかの位置に仮想的に置かれた座標系です。焦点距離やレンズの歪補正などによって変わりますが、ここではその座標系が予め設定されているものとします)。

ここで、ロボットの手先位置姿勢に対応する座標系を\( \Sigma_{E} \)とします(黒線で描いた座標系)。

ビジョンセンサの座標系を\( \Sigma_{E’} \)とします(オレンジ線で描いた座標系)。

(下付き文字のラベルEは手先＝エンドエフェクタEndEffectorを省略してるつもりです。ビジョンセンサを表したラベルE’も、手先の目のようなものだからEyeでもいいですし、ツールToolのTとする場合もありますね。カメラだからCとかでも。もう何でもいいですラベルの対応さえとれれば)

手先とビジョンセンサの座標系が一体化されていて、

両者の座標系が一致するように設計されているイメージを下の絵のように描いてみました。

ビジョンセンサから認識された物体の位置姿勢、
ここでは姿勢だけ考えて、物体の姿勢を\( {}^{E’}{\bf R}_{obj} \)とします(objはobjectを省略したラベル)。

\( {}^{E’}{\bf R}_{obj} \)は、座標系\( \Sigma_{E’} \)基準の物体の姿勢を表しているとします。

ビジョンセンサの座標系からみた物体の姿勢\( {}^{E’}{\bf R}_{obj} \)を、手先座標系からみた姿勢\( {}^{E}{\bf R}_{obj} \)へ変換するとき、以下の式で表されます。

$$
{}^{E}{\bf R}_{obj} =  {}^{E}{\bf R}_{E’}  {}^{E’}{\bf R}_{obj}
$$

上式の座標系変換のオペレータ\( {}^{E}{\bf R}_{E’} \)は、

手先座標系\( \Sigma_{E} \)からみたビジョンセンサ座標系\( \Sigma_{E”} \)の位置姿勢でもあります。

上の絵では、両座標系が一致するよう設計されているので、

$$
{}^{E}{\bf R}_{E’} = {\bf I}
$$

( \( {\bf I} \)は単位行列 )

となります。ビジョンセンサ座標系からみた物体の姿勢は、そのまま手先座標系からみた姿勢になっているわけです。

次に、

手先座標系とカメラ座標系の姿勢が一致せず、

下の絵のように、ハンドとは別に、外付けでビジョンセンサ(カメラ)が付いているケースを考えます。

こちらが今回のメインのお話です。

手先座標系\( \Sigma_{E} \)とビジョンセンサ座標系\( \Sigma_{E”} \)は、下の絵のように姿勢が異なります。

このように姿勢が異なる場合、物体の位置姿勢に合わせて手先を動かそうとすると、

手先座標系\( \Sigma_{E} \)から見たビジョンセンサの座標系\( \Sigma_{E’} \)の位置姿勢、お題の「姿勢のオフセット」を知る必要があります。

「姿勢のオフセット」と述べてますが、姿勢のずれとか、姿勢の誤差とか、姿勢の一定寸法とか、そんな風に解釈してもらっても構いません。JIS用語だと自分が言う手先とはメカニカルインタフェースのことですね(ラベルではエンドエフェクタにしちゃったけど)。姿勢オフセットはJIS用語だと何でしょう。メーカー定義な感じですかね。

2. 目的

姿勢のオフセット\( {}^{E}{\bf R}_{E’} \)を求める。

3. 姿勢のオフセット

以降、ハンドやビジョンセンサや物体について、全て姿勢だけで考えます。

手先座標系とビジョンセンサ座標系の姿勢が一致している図を描きました。

例のごとく、正規直交基底ベクトル\( {\bf e}_{x} \), \( {\bf e}_{y} \), \( {\bf e}_{z} \)とそれらの先が表面に収まる半径１の球を描いています。

黒い線で描いた座標系が手先座標系\( \Sigma_{E} \)で、

オレンジ色の線で描いたものがビジョンセンサ座標系\( \Sigma_{E’} \)です。

以下のように物体の姿勢\( {}^{E’}{\bf R}_{obj} \)を描きました。

手先座標系から見る物体の姿勢も、ビジョンセンサから見る物体の姿勢も同じです。

次に本題の、手先座標系とビジョンセンサの座標系の姿勢がずれているときを図に描きます。

さらに物体の姿勢\( {}^{E}{\bf R}_{obj} \)を描きます。

先にも述べましたが、姿勢オフセット\( {}^{E}{\bf R}_{E’} \)は、座標系の相対関係\( \Sigma_{E} \)→\( \Sigma_{E’} \)の座標系変換のオペレータでもあります。

この姿勢オフセット\( {}^{E}{\bf R}_{E’} \)を求める方法を考えてみましょう。

手先座標系\( \Sigma_{E} \)基準で手先をある地点1から地点2に回転移動、もしくは物体を同じ移動量だけ回転したとします。

手先の回転でも物体の回転でも、手先座標系\( \Sigma_{E} \)基準でみると同じ運動として扱えます。

手先の回転運動により、相対的に移動したように見える物体の回転運動も、

手先は移動せず、同じ移動量だけ実際に物体が回転したときの物体の回転運動も

手先座標系\( \Sigma_{E} \)原点から見ると相対的に両方同じになるからです。

(月も太陽も地球から見ると地球のまわりを回って見える現象)

手先座標系\( \Sigma_{E} \)基準で、地点１から２への手先が移動する回転運動オペレータを\( {}^{E}{\bf R}_{obj1 \rightarrow obj2} \)と記述することにします。

地点１の手先座標系\( \Sigma_{E} \)から見た物体の姿勢\( {}^{E}{\bf R}_{obj1} \)、地点２の手先座標系から見た物体の姿勢\( {}^{E}{\bf R}_{obj2} \)により、以下の関係式で表されます。

$$
{}^{E}{\bf R}_{obj2} = {}^{E}{\bf R}_{obj1 \rightarrow obj2} {}^{E}{\bf R}_{obj1}
$$

よって、回転運動のオペレータは、以下のように求まります。

$$
{}^{E}{\bf R}_{obj1 \rightarrow obj2} = {}^{E}{\bf R}_{obj2} {}^{E}{\bf R}_{obj1}^{\rm T}
$$

これが地点１から地点２への手先の回転運動を表しています。

同様にして、ビジョンセンサ座標系\( \Sigma_{E’} \)からみた物体の相対的な移動量は、

回転運動のオペレータ\( {}^{E’}{\bf R}_{obj1 \rightarrow obj2} \)により以下のよう書き表すことができます。

$$
{}^{E’}{\bf R}_{obj1 \rightarrow obj2} := {}^{E’}{\bf R}_{obj2} {}^{E’}{\bf R}_{obj1}^{\rm T}
$$

では、

このビジョンセンサ座標系\( \Sigma_{E’} \)基準の物体の地点1から地点２への回転運動を、

手先座標系基準\( \Sigma_{E} \)基準に座標系変換してみようと思います。

回転運動に座標系変換のオペレータ\( {}^{E}{\bf R}_{E’} \)をかけます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{E}{\bf R}_{E’}  \left( {}^{E’}{\bf R}_{obj2} {}^{E’}{\bf R}_{obj1}^{\rm T} \right)
&=& {}^{E}{\bf R}_{E’} \left(
{}^{E’}{\bf R}_{E} {}^{E}{\bf R}_{obj2} \left(
{}^{E’}{\bf R}_{E} {}^{E}{\bf R}_{obj1} \right)^{\rm T}
\right) \\
&=& {}^{E}{\bf R}_{obj2} {}^{E}{\bf R}_{obj1}^{\rm T} {}^{E}{\bf R}_{E’} \\
&=& {}^{E}{\bf R}_{obj1 \rightarrow obj2} {}^{E}{\bf R}_{E’}
\end{array}
$$

最終的に以下の式が導けます。

$$
{}^{E}{\bf R}_{E’}  \left( {}^{E’}{\bf R}_{obj2} {}^{E’}{\bf R}_{obj1}^{\rm T} \right)
= {}^{E}{\bf R}_{obj1 \rightarrow obj2} {}^{E}{\bf R}_{E’}
$$

上の式が表す意味は以下のようになります。

$$ \begin{array}{lcl}
{}^{E}{\bf R}_{E’}^{\rm T}
\left( ({\rm ビジョンセンサからみた地点2の物体姿勢}) ( {\rm ビジョンセンサからみた地点1の物体姿勢} )^{\rm T} \right)
&& \\
\ \ \ \ = ({\rm 手先座標系からみた地点１ \rightarrow ２の手先回転運動})
{}^{E}{\bf R}_{E’}
& &
\end{array} $$

式中に日本語で書いた

1. ビジョンセンサからみた地点１の物体姿勢
2. ビジョンセンサからみた地点２の物体姿勢
3. 手先座標系からみた地点１\( \rightarrow \)２の手先回転運動

は、ビジョンの認識機能、ロボットの手先運動制御機能によりそれぞれ計測・取得できるとします。

なので既知の定数として、

1.,2.のビジョン認識機能より計測される\({}^{E’}{\bf R}_{obj2} {}^{E’}{\bf R}_{obj1}^{\rm T} \)の3×3行列を\( {\bf A} \)、

3.のロボットの手先運動制御機能により取得される\( {}^{E}{\bf R}_{obj1 \rightarrow obj2} \)の3×3行列を\( {\bf B} \)、

知りたい姿勢オフセットの3×3行列\( {}^{E}{\bf R}_{E’} \)を\( \bf X \)とおけば、

式は、

$$
{\bf X} {\bf A} = {\bf B} {\bf X}
$$

の形の行列方程式になることがわかります。

あとは、この行列\( \bf X \)を求めて姿勢オフセット\( {}^{E}{\bf R}_{E’} \)を得ることができます。

ここでは、行列方程式解法の詳細は省略します。

ふぅ～、、

落書きみたいな図をいっぱい描いちゃいました。。

この話は、カメラから手先の姿勢オフセットだけでなく、

手先からさらに伸びた上記吸着パッドとか爪とかチャックとかの、ツール先端(TCP：Tool Center Pointと呼ばれる点)の姿勢オフセットを考える時にも有効です。

ただしその場合は、上記ビジョンによる計測だけではなく、ツール先端を計測器具で物理的に計測したり、またはマニピュレータを決まった回転軸と回転角だけ移動させるなど別途拘束条件を設けたりして求めてもいいと思います。

姿勢オフセットの話は、マニピュレータ使用上よく出るのですが、あまりロボット工学の教科書には書かれてませんね。

簡単なようでややこしいです。

物理世界の話をしているけど、仮想的な設定が多いんで、これなんだっけ？？ってなっちゃいます。

一度自分の中で消化するまで整理した方がいいですね。

今回は、Dr.の同僚に教えてもらったりして書かせてもらいました。感謝！

まだまだ回転の話は続きますが、、

今回は以上です。

こんにちは。だいCです。

前回「剛体の回転行列の速度とは」で、姿勢の変化は基底ベクトルの移動を表していて、

基底ベクトルの移動の仕方は、回転角の変化\( \Delta \theta \)(\( \theta(t)の軌道計算 \))と回転軸\( \bf n \)に依存する、と書きました。

では、スタートとゴールの２つ姿勢が決まっていて、その間を１つの回転軸で回転移動するとき、間の姿勢はどうなるでしょうか？

回転軸\( \bf n \)はどのような値をとるのでしょうか…？

今回は２つの姿勢の間の姿勢、いわゆる姿勢の補間方法についてノートします。

1. 目的

２つの姿勢間を補間する方法を求める。

2. イメージ

前回、

回転行列で表される姿勢の運動は、xyz軸で構成される正規直交基底の運動であり、xyz軸３本のベクトルは直交したまま球の表面を移動することをノートしました。

では、２つの姿勢間を移動するイメージの絵を描きます。

まず、最初異動する前の姿勢を以下に描きました。

球の表面に３点をとり、同じ球の中心からそれらの点に伸びる３軸が、互いに直交した基底ベクトル３本の組を姿勢として表現します。

よく座標系を表現するときこのような座標軸を描きますね。ここでは、姿勢を表す物体だと思ってください。

最初の姿勢を\( {\bf R}_0 \)とします。基底ベクトルは\( {\bf e}_{x0} \)、\( {\bf e}_{y0} \)、\( {\bf e}_{z0} \)とします。

この姿勢が点\( O \)を中心として回転し、ある時間経過後、ある姿勢に到達したとします。

到達後の姿勢を下の図ように描き足しました。

これを目標到達姿勢とよび、\( {\bf R}_{g}\)とします。基底ベクトルは\( {\bf e}_{xg} \)、\( {\bf e}_{yg} \)、\( {\bf e}_{zg} \)とします。
（下付き文字を目標=goalだから略してgとしましたが、終端=finishだから略してfと書くこともあります。ここではgとします。）

開始姿勢\( {\bf R}_0 \)と目標到達姿勢\( {\bf R}_{g} \)への回転移動は、

移動途中に複数の回転軸をとれば、ぐにゃぐにゃいろんな移動方法をとることができます。

ここでは、１つの回転軸だけとり、２つの姿勢間をその軸まわりにだけ回転移動することにします。

１つの回転軸のイメージを下の図のように描いてみます。

この１つの回転軸を\( \bf n \)とします。

２つの姿勢間を結ぶ１つの回転軸\( \bf n \)はどのようにして求められるでしょうか？

さらにこの回転軸\( \bf n \)で回転したときの、開始姿勢\( {\bf R}_0 \)と目標到達姿勢\( {\bf R}_{g} \)の間の姿勢\( {\bf R}(t) \)を以下のように描いてみました。

あいだの補間姿勢について、

開始姿勢から移動開始する時刻を0とし、到達姿勢に到達する時刻を1として說明することがあります。

なぜ0から１にするかというと、軌道補間の実装上、話がラクだからです。

開始時刻、到達時刻のとり方なんて無限にありますが、例えば、開始時刻を\(t_0\)、目標到達時刻を\(t_g\)とし、

その間の時刻\( t \)を、たとえば下式のようにパラメータ\( s \)に置き換えてやれば、

$$
s(t) = \frac{t – t_0}{t_g – t_0}
$$

範囲\( [t_0, t_g] \)間の移動を\( [0, 1] \)間の移動、つまり開始点と目標点の間の内分比パラメータの時間変化とすることができるのです。

軌道補間計算を実装するとき、余計な定数の入力文字を考えなくていいのでラクチンです。

これは軌道補間の教科書や論文でもよく見られ、もはや当たり前のように補間を媒介する変数\(s\)は0～1として説明されることもあります。

以降、自分もこのように、\(s\)を補間時刻\(s \in [0, 1]\)として話をすすめることもあるので、ご注意ください。

では話を戻して、時刻\( t \)のときの補間姿勢\( {\bf R}(s(t)) \)はどのようにして求まるでしょうか？

3. ２つの姿勢間の補間方法

ここで、回転運動を作用する回転行列\( {\bf R}_{0 \rightarrow g} \)と仮において、

開始姿勢\( {\bf R}_{0} \)が、回転運動\( {\bf R}_{0 \rightarrow g} \)の作用によって、目標到達姿勢\( {\bf R}_{g} \)に到達したと考えます。

$$
{\bf R}_{g} = {\bf R}_{0 \rightarrow g} {\bf R}_{0}
$$

この回転行列\( {\bf R}_{0 \rightarrow g} \)は以下のように求まります。

$$
{\bf R}_{0 \rightarrow g} := {\bf R}_{g}{\bf R}^{\rm T}_{0}
$$

この回転行列\( {\bf R}_{0 \rightarrow g} \)が、先程イメージで描いた回転軸\( \bf n \)まわりに \( \theta(s(t_0))(=\theta_0=0) \) から\( \theta(s(t_g))(=\theta_g) \)へ回転する回転運動全体を表しています。

回転行列\( {\bf R}_{0 \rightarrow g} \)にある回転角\( \theta \) ( \( \theta_0(=0) \le \theta \le \theta_g  \) ) を与えると、その回転運動のあいだの１つの姿勢への変換作用\( {\bf R}_{0 \rightarrow g}( \theta ) \)を得ることできます。

回転角\( \theta \)は、入力\( s(t) \)の関数とします。

今回は、\( \theta \)と\( s(t) \)の関係は置いておいて、\( s(t) \)により求まった回転角\( \theta \)を入力として与えることができるとします。

よって、先程まで\( {\bf R}(s(t)) \)と表していた回転行列の姿勢は、開始姿勢\( {\bf R}_{0} \)に対し直接の入力\( \theta \)の関数が作用した姿勢、\( {\bf R}_{0 \rightarrow g}(\theta) {\bf R}_{0} \)と表わせます。

\( \theta \)を入力とすると、上式の\( {\bf R}_{0 \rightarrow g} \)から、\( {\bf R}_{0 \rightarrow g}( \theta ) \)がどのような値になるか求めます。

剛体の運動(回転行列と角軸)での内容を使います。

上式で求めた回転行列\( \bf R_{0 \rightarrow g} \)の要素を以下のように置くと、

$$
{\bf R}_{0 \rightarrow g} = \left[ \begin{array}{ccc}
                                                       r_{11} & r_{12} & r_{13} \\
                                                       r_{21} & r_{22} & r_{23} \\
                                                       r_{31} & r_{32} & r_{33}
                                                      \end{array} \right]
$$

回転軸\( \bf n \)は以下のように求まるのでした。これが１つの回転軸\( \bf n \)を求める方法の解答です。

$$
{\bf n}_{\rm id} := \left[ \begin{array}{c}
                                        r_{32}  – r_{23}\\
                                        r_{13}  – r_{31}\\
                                        r_{21}  – r_{12}
                                        \end{array} \right] 
$$

$${\bf n}  := \frac{ {\bf n}_{\rm id} }{ \| {\bf n}_{\rm id} \| }$$

開始姿勢\( {\bf R}_{0} \)の要素を以下のように書くと、

$$
{\bf R}_{0} = \left[ \begin{array}{ccc}
                                r_{0\_11} & r_{0\_12} & r_{0\_13} \\
                                r_{0\_21} & r_{0\_22} & r_{0\_23} \\
                                r_{0\_31} & r_{0\_32} & r_{0\_33}
                                \end{array} \right]
$$

このときの回転角\( \theta_0 \)は、以下のように求まるのでした。

$$
\theta_0 = { \rm atan2 } \left( \frac{1}{2} \| {\bf n}_{\rm id} \|, \frac{r_{0\_11} + r_{0\_22} + r_{0\_33}-1}{2} \right)
$$

同様にして、終端姿勢の回転角\( \theta_g \)も求まります。

補間姿勢の入力回転角\( \theta\)は、\( \theta_0 \)と\( \theta_g \)を元にした軌道補間計算より、予め\(s\)の関数として求めておきます。

ロドリゲスの公式より、入力\( \theta \)のときの回転軸\( {\bf n} \)まわりの姿勢\( {\bf R}(\theta) \)として、補間姿勢\( {\bf R}_{0 \rightarrow g}(t)={\bf R}_{0 \rightarrow g}(\theta) \)が求まります。

$$ {\bf R}_{0 \rightarrow g}(\theta) := {\bf I} + {\rm sin}\theta {\bf[ n\times]} + (1 – {\rm cos}\theta) {\bf[ n\times]}^2 $$

（ \( \bf I\)は単位行列、\( \bf[ n\times] \)は\( {\bf n} \)による外積行列 ）

最終的に回転作用\( {\bf R}_{0 \rightarrow g}(\theta) \)によって姿勢\( {\bf R}_{0} \)から移動した姿勢\( {\bf R}(s(t)) \)を求めます。

$$
{\bf R}(s(t)) = {\bf R}_{0 \rightarrow g}(\theta) {\bf R}_{0}
$$

以上で、２つ目の問題の解答である、補間姿勢\( {\bf R}(s(t)) \)を求めることできました。

4. まとめ

以上をまとめます。

入力

• 開始姿勢\( {\bf R}_{0} \)
• 到達姿勢\( {\bf R}_{g} \)
• 開始時刻\( t_0 \)
• 終端時刻\( t_g \)
• 時刻\( t \)

出力

• 時刻\( t \)のときの補間姿勢\( {\bf R}(s(t)) \)

アルゴリズム

1. 開始姿勢\( {\bf R}_{0} \)と到達姿勢\( {\bf R}_{g} \)より、２姿勢間の回転運動の作用を表す\( {\bf R}_{0 \rightarrow g} \)を求める。
   $$
   {\bf R}_{0 \rightarrow g} := {\bf R}_{g}{\bf R}^{\rm T}_{0}
   $$

   $$
   \left(
   {\bf R}_{0} = \left[ \begin{array}{ccc}
                                   r_{0\_11} & r_{0\_12} & r_{0\_13} \\
                                  r_{0\_21} & r_{0\_22} & r_{0\_23} \\
                                  r_{0\_31} & r_{0\_32} & r_{0\_33}
                          \end{array} \right], \\
   {\bf R}_{g} = \left[ \begin{array}{ccc}
                                  r_{g\_11} & r_{g\_12} & r_{g\_13} \\
                                  r_{g\_21} & r_{g\_22} & r_{g\_23} \\
                                  r_{g\_31} & r_{g\_32} & r_{g\_33}
                          \end{array} \right], \\
   {\bf R}_{0 \rightarrow g} = \left[ \begin{array}{ccc}
                                                         r_{11} & r_{12} & r_{13} \\
                                                         r_{21} & r_{22} & r_{23} \\
                                                         r_{31} & r_{32} & r_{33}
                                                \end{array} \right]
   \right)
   $$

2. 回転行列\( {\bf R}_{0 \rightarrow g} \)より、回転軸\({\bf n}\)を求める。
   $$
   {\bf n}_{\rm id} := \left[ \begin{array}{c}
                                           r_{32} – r_{23} \\
                                           r_{13} – r_{31} \\
                                           r_{21} – r_{12}
                                  \end{array} \right]
   $$

   $${\bf n}  := \frac{ {\bf n}_{\rm id} }{ \| {\bf n}_{\rm id} \| }$$

3. 開始回転角\( \theta_{0} \)を求める。
   $$ \theta_0 := { \rm atan2 } \left( \frac{1}{2} \| {\bf n}_{\rm id} \|, \frac{r_{0\_11} + r_{0\_22} + r_{0\_33}-1}{2} \right) $$
4. 終端回転角\( \theta_{g} \)を求める。
   $$ \theta_g := { \rm atan2 } \left( \frac{1}{2} \| {\bf n}_{\rm id} \|, \frac{r_{g\_11} + r_{g\_22} + r_{g\_33}-1}{2} \right) $$
5. 軌道補間計算により時刻 \( t \)のときの回転角\( \theta(s(t)) \)を求める。
   ここでは軌道補間計算の方法は省略。入出力だけ示す。
   ・入力：開始時刻\(t_0\)、終端時刻\( t_g \)、時刻\( t \)、開始回転角\( \theta_0 \)、終端回転角\( \theta_{g} \)
   ・出力：時刻\(t\)のときの回転角\( \theta(s(t)) \) . 
6. ロドリゲスの公式より、回転角\( \theta \)のときの回転作用\( {\bf R}_{0 \rightarrow g}(\theta) \)を求める。
   $$ {\bf R}_{0 \rightarrow g}(\theta) :=  {\bf I} + {\rm sin}\theta {\bf[ n\times]} + (1 – {\rm cos}\theta) {\bf[ n\times]}^2 $$
7. 出力\( {\bf R}(s(t)) := {\bf R}_{0 \rightarrow g}(\theta) {\bf R}_{0} \)を得る。

以上です。

こんにちは。だいCです。

このブログはノート代わりに使わせてもらっています。

前回、回転運動の速度をどのように表すかで、回転行列の速度\( \dot {\bf R}(t) \)を求めました。

「速度が求まってので、次は加速度いってみよー！！」と言いたいところですが、

その前にこの回転行列の速度\( \dot {\bf R}(t) \)が、何なのかをもう少し考えたいと思います。

目的

回転行列の速度\( \dot {\bf R}(t) \)が何かを示す。

回転行列\( \bf R \)の意味

まずそもそも、回転行列\( {\bf R}(t) \)とは、何なのかを考えます。

プログラムとして見ると、\( {\bf R}(t) \)は時刻\( t \)を入力にして行列を返す関数に見えますが、

もう少し内部仕様を掘ってみると、回転行列\( {\bf R } \)の直接の入力は、時刻\( t \)でなく回転角\( \theta \)です。

時刻\( t \)は、回転角を返す関数\( \theta(t) \)の入力です。

この関数\( \theta(t) \)は、内部で軌道計算をします。入出力は以下のようになります。

回転角の関数\( \theta(t) \)

• 入力：時刻\( t \)
• 出力：その時刻\( t \)での角度\( \theta \)

回転行列\( {\bf R } \)は、\( {\bf R }(\theta) \)として、以下のように書けます。

回転行列の関数\( {\bf R }(\theta) \)

• 入力：時刻\( t \)での角度\( \theta \)
• 出力：その角度\( \theta \)での行列

では、この出力の行列は何を表しているのかを考えます。

回転行列の性質は

広瀬茂男先生の「ロボット工学 ー機械システムのベクトル解析ー」、

川崎晴久先生の教科書「ロボット工学の基礎」、

梶田秀司先生の教科書「ヒューマノイドロボット」を読むと分かりやすいです。

絶対座標系の基底を直交単位ベクトル(いわゆるx軸, y軸, z軸方向の単位ベクトル)を \( {}^{0}{\bf e}_{x} \), \( {}^{0}{\bf e}_{y}\), \( {}^{0}{\bf e}_{z}\)とします。それぞれの座標値は以下のようなります。

$$  \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf e}_{x} = \left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right]
,\ \ \ &
{}^{0}{\bf e}_{y} = \left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right]
,\ \ \ &
{}^{0}{\bf e}_{z} = \left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array} \right]
\end{array} $$

ここで絶対座標系と書きましたが、絶対座標系とは、、

• 座標系のボス的存在で、
• すべての座標の基準となる座標系、
• 空間上の点の座標を数多くの座標系間基準で相対的に表現しまくるのに対し、唯一絶対的な座標表現をするときの基準となる座標系、
• 相対座標系の対称として表顕される座標系

座標系については、別ページにまとめておきます。

今は基準座標系の話をしたいわけではありませんが、

座標表現されたベクトルの座標は必ず、基準座標系が何であるかを把握した上で使用しなければいけません。

特に３Dビジョンや双腕マニピュレータ、移動ロボット等で座標系をバンバン切り替えて操作するときは、間違えると危険です。

１つの絶対座標系を基準に表現しておくと、ややこしい座標系間の相対関係を考えるとき分かりやすくなります。

それでは話を戻して、

絶対座標系の基底を直交単位ベクトル(いわゆるx軸, y軸, z軸方向の単位ベクトル) を\( {\bf e}_{x} \), \( {\bf e}_{y}\), \( {\bf e}_{z}\)としました。

単位ベクトル、つまり大きさが１で、互いに直交する基底(互いに独立)なので、このベクトルを「正規直交基底」と言ったりするそうです。

３次元のベクトル空間は、基準となる座標系の３本の基底ベクトルで表現されます。線形代数の授業ですね。懐かしい。

以降、左上に基準座標系のラベルを書きます。

右下にその基準座標で表された注目する変数のラベルを書きます。

たとえば、あるベクトル\({\bf p} \)は、
座標系\( \Sigma_{A} \)基準の基底ベクトル\( {}^{A}{\bf e}_{x} \), \( {}^{A}{\bf e}_{y} \), \( {}^{A}{\bf e}_{z} \)により、\({}^{A}{\bf p} \)として表現すると、以下のように書きます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{A}{\bf p} &=&
\left[ \begin{array}{ccc} {}^{A}p_x & {}^{A}p_y & {}^{A}p_z \end{array} \right]^{\rm T} \\
&=&
{}^{A}p_{x}{}^{A}{\bf e}_{x} +
{}^{A}p_{y}{}^{A}{\bf e}_{y} +
{}^{A}p_{z}{}^{A}{\bf e}_{z}
\end{array}
$$

ここで、\( {}^{A}{\bf e}_{x} \), \( {}^{A}{\bf e}_{y}\), \( {}^{A}{\bf e}_{z}\)それぞれの座標は以下のようなります。

$$  \begin{array}{rcl}
{}^{A}{\bf e}_{x} = \left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right]
,\ \ \ &
{}^{A}{\bf e}_{y} = \left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right]
,\ \ \ &
{}^{A}{\bf e}_{z} = \left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array} \right]
\end{array} $$

同様に、このベクトル\({\bf p} \)は

絶対座標系\( \Sigma_{0} \)基準の基底ベクトル\( {}^{0}{\bf e}_{x} \), \( {}^{0}{\bf e}_{y} \), \( {}^{0}{\bf e}_{z} \)により、\({}^{0}{\bf p}\)として表現すると、以下のように書けます。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf p} &=&
\left[ \begin{array}{ccc} {}^{0}p_x & {}^{0}p_y & {}^{0}p_z \end{array} \right]^{\rm T} \\
&=&
{}^{0}p_{x}{}^{0}{\bf e}_{x}
+ {}^{0}p_{y}{}^{0}{\bf e}_{y}
+ {}^{0}p_{z}{}^{0}{\bf e}_{z}
\end{array}
$$

では、座標系の変換を考えたいと思います。

いま、座標系\( \Sigma_{A} \)基準の基底ベクトル\( {}^{A}{\bf e}_{x} \), \( {}^{A}{\bf e}_{y} \), \( {}^{A}{\bf e}_{z} \)を、絶対座標系\( \Sigma_{0} \)基準で見たとき以下のように\( {}^{0}{\bf x}_{{}^{A}{\bf e}_{x}} \), \( {}^{0}{\bf y}_{{}^{A}{\bf e}_{y}} \), \( {}^{0}{\bf z}_{{}^{A}{\bf e}_{x}} \)と表せるとします。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{A}{\bf e}_{x}
& {}^{\Sigma_{A}}\longrightarrow^{\Sigma_{0}} &\ \
{}^{0}{\bf x}_{{}^{A}{\bf e}_{x}} =
\left[ \begin{array}{c}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}x} \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}y} \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}z}
\end{array} \right], \\
{}^{A}{\bf e}_{y}
& {}^{\Sigma_{A}}\longrightarrow^{\Sigma_{0}} &\ \
{}^{0}{\bf y}_{{}^{A}{\bf e}_{y}} =
\left[ \begin{array}{c}
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}x} \\
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}y} \\
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}z}
\end{array} \right], \\
{}^{A}{\bf e}_{z}
& {}^{\Sigma_{A}}\longrightarrow^{\Sigma_{0}} &\ \
{}^{0}{\bf z}_{{}^{A}{\bf e}_{z}} =
\left[ \begin{array}{c}
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}x} \\
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}y} \\
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}z}
\end{array} \right],
\end{array}
$$

この変換の関係を使用して、

上記の\( {}^{0}{\bf p} \)を、かなり無理矢理ですが、以下のように式変形します。

特に二段目から三段目、五段目から六段目の式変形は、ふつう導出では出てこない、かなり無理矢理な便宜上の変形です。

$$ \begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf p} &=&
\left[ \begin{array}{ccc} {}^{0}p_x & {}^{0}p_y & {}^{0}p_z \end{array} \right]^{\rm T} \\
&=&
{}^{0}p_{x}{}^{0}{\bf e}_{x}
+ {}^{0}p_{y}{}^{0}{\bf e}_{y}
+ {}^{0}p_{z}{}^{0}{\bf e}_{z}\\
&=&
{}^{A}p_{x}
\left( {}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}x}{}^{0}{\bf e}_{x}
+  {}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}y}{}^{0}{\bf e}_{y}
+ {}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}z}{}^{0}{\bf e}_{z}\right)  \\
&\ &\ +
{}^{A}p_{y}
\left( {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}x}{}^{0}{\bf e}_{x}
+  {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}y}{}^{0}{\bf e}_{y}
+ {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}z}{}^{0}{\bf e}_{z}
\right) \\
&\ &\ +
{}^{A}p_{z}
\left( {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}x}{}^{0}{\bf e}_{x}
+  {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}y}{}^{0}{\bf e}_{y}
+ {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}z}{}^{0}{\bf e}_{z}
\right) \\
&=&
{}^{A}p_{x}
\left[ \begin{array}{c}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}x} \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}y} \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}z}
\end{array} \right] +
{}^{A}p_{y}
\left[ \begin{array}{c}
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}x} \\
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}y} \\
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}z}
\end{array} \right] +
{}^{A}p_{z}
\left[ \begin{array}{c}
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}x} \\
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}y} \\
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}z}
\end{array} \right] \\
&=&
{}^{A}p_{x}{}^{0}{\bf x}_{{}^{A}{\bf e}_{x}} +
{}^{A}p_{y}{}^{0}{\bf y}_{{}^{A}{\bf e}_{y}} +
{}^{A}p_{z}{}^{0}{\bf z}_{{}^{A}{\bf e}_{z}} \\
&=&
{}^{A}p_{x} \left[
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}x} &
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}x} &
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}x}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right] \right. \\
&\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,
\left.
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}y} &
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}y} &
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}y}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right]
\right. \\
&\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,
\left.
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}z} &
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}z} &
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}z}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right]
\right]
\\
&\ & +
{}^{A}p_{y} \left[
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}x} &
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}x} &
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}x}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right] \right. \\
&\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,
\left.
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}y} &
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}y} &
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}y}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right]
\right. \\
&\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,
\left.
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}z} &
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}z} &
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}z}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right]
\right] \\
&\ & +
{}^{A}p_{z} \left[
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}x} &
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}x} &
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}x}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array} \right] \right. \\
&\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,
\left.
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}y} &
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}y} &
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}y}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array} \right]
\right. \\
&\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,
\left.
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}z} &
{}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}z} &
{}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}z}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array} \right]
\right] \\
&=&
{}^{A}p_{x}
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}x}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}x}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}x}  \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}y}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}y}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}y}  \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}z}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}z}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}z}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right] \\
&\ & +
{}^{A}p_{y}
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}x}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}x}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}x}  \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}y}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}y}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}y}  \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}z}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}z}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}z}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right] \\
&\ & +
{}^{A}p_{z}
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}x}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}x}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}x}  \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}y}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}y}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}y}  \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}z}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}z}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}z}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array} \right] \\
&=&
\left[ \begin{array}{ccc}
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}x}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}x}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}x}  \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}y}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}y}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}y}  \\
{}^{0}x_{{}^{A}{\bf e}_{x}z}  & {}^{0}y_{{}^{A}{\bf e}_{y}z}   & {}^{0}z_{{}^{A}{\bf e}_{z}z}
\end{array} \right]
\left(
{}^{A}p_{x}{}^{A}{\bf e}_{x} +
{}^{A}p_{y}{}^{A}{\bf e}_{y} +
{}^{A}p_{z}{}^{A}{\bf e}_{z}
\right)
\end{array} $$

最終的に以下のように表せます。

$$
\begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf p} &=&
\left[ \begin{array}{c}
{}^{0}{\bf x}_{{}^{A}{\bf e}_{x}} &
{}^{0}{\bf y}_{{}^{A}{\bf e}_{y}} &
{}^{0}{\bf z}_{{}^{A}{\bf e}_{z}}
\end{array} \right]
\left(
{}^{A}p_{x}{}^{A}{\bf e}_{x} +
{}^{A}p_{y}{}^{A}{\bf e}_{y} +
{}^{A}p_{z}{}^{A}{\bf e}_{z}
\right) \\
&=&
\left[ \begin{array}{c}
{}^{0}{\bf x}_{{}^{A}{\bf e}_{x}} &
{}^{0}{\bf y}_{{}^{A}{\bf e}_{y}} &
{}^{0}{\bf z}_{{}^{A}{\bf e}_{z}}
\end{array} \right]
{}^{A}{\bf p } \\
&=&
{}^{0}{\bf R}_{A}\ {}^{A}{\bf p }
\end{array}
$$

基底ベクトルは座標値だけみると、\( {}^{A}{\bf e}_{x} \)も\( {}^{0}{\bf e}_{x} \)も同じ座標値\( \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \) ですが、両者は別モノですね。

座標値を表す座標系空間が異なるということを忘れて同じと思ってしまう時もありますが。

上の式は、座標系\( \Sigma_{A} \)空間上のベクトル\( {}^{A}{\bf p } \)が、\( {}^{0}{\bf R}_{A} \)によって座標系\( \Sigma_{0} \)空間上のベクトル\( {}^{0}{\bf p } \)に変換されていることを表しているのです。

さらに行列\( {}^{0}{\bf R}_{A} \)の中身は、

座標系\( \Sigma_{A} \)の基底ベクトル\( {}^{A}{\bf e}_{x} \), \( {}^{A}{\bf e}_{y} \), \( {}^{A}{\bf e}_{z} \)を、絶対座標系\( \Sigma_{0} \)基準で表したときのベクトル\( {}^{0}{\bf x}_{{}^{A}{\bf e}_{x}} \), \( {}^{0}{\bf y}_{{}^{A}{\bf e}_{y}} \), \( {}^{0}{\bf z}_{{}^{A}{\bf e}_{z}} \)で構成されているのです。

$$
{}^{0}{\bf R}_{A}
=
\left[ \begin{array}{c}
{}^{0}{\bf x}_{{}^{A}{\bf e}_{x}} &
{}^{0}{\bf y}_{{}^{A}{\bf e}_{y}} &
{}^{0}{\bf z}_{{}^{A}{\bf e}_{z}}
\end{array} \right]
$$

このベクトル\( {}^{0}{\bf x}_{{}^{A}{\bf e}_{x}} \), \( {}^{0}{\bf y}_{{}^{A}{\bf e}_{y}} \), \( {}^{0}{\bf z}_{{}^{A}{\bf e}_{z}} \)は、
座標系\( \Sigma_{A} \)原点が絶対座標系\( \Sigma_{0} \)原点からベクトル\( {}^{0}{\bf p}_{A} \)だけ離れていると、
下図のように各ベクトルの大きさは、座標系\( \Sigma_{0} \)から\( \Sigma_{A} \)への並進移動分のベクトル\( {}^{0}{\bf p}_{A} \)がどのような値をとるかによってバラバラです。(手書きで見苦しくて申し訳ないです)

今は回転のみを考えたいので、並進ベクトル\( {}^{0}{\bf p}_{A} \)は無視して、
下図のように座標系\( \Sigma_{A} \)原点が絶対座標系\( \Sigma_{0} \)原点と一致するように考えます。
(これまた手書きで見苦しくて申し訳ないです)

絶対座標系\( \Sigma_{0} \)を、回転軸\( \bf n \)まわりに回転角\( \theta \)だけ回転した座標系が、\( \Sigma_{A} \)と見ることができます。

絶対座標系\( \Sigma_{0} \)から見た座標系\( \Sigma_{A} \)の基底ベクトル\( {}^{A}{\bf e}_{x} \), \( {}^{A}{\bf e}_{y} \), \( {}^{A}{\bf e}_{z} \)は、\( {}^{0}{\bf x}_{{}^{A}{\bf e}_{x}} \), \( {}^{0}{\bf y}_{{}^{A}{\bf e}_{y}} \), \( {}^{0}{\bf z}_{{}^{A}{\bf e}_{z}} \)にそのまま対応するので
各ベクトルの大きさは１になります。

行列\( {}^{0}{\bf R}_{A} \)は、
座標系\( \Sigma_{A} \)の基底ベクトル\( {}^{A}{\bf e}_{x} \), \( {}^{A}{\bf e}_{y} \), \( {}^{A}{\bf e}_{z} \)を絶対座標系\( \Sigma_{0} \)基準で表したベクトル\( {}^{0}{\bf x}_{{}^{A}{\bf e}_{x}} \), \( {}^{0}{\bf y}_{{}^{A}{\bf e}_{y}} \), \( {}^{0}{\bf z}_{{}^{A}{\bf e}_{z}} \)で構成されており、
これは座標系\( \Sigma_{A} \)の回転状態、いわゆる姿勢を表しているといえるのです。

（意味１）回転行列は座標系の姿勢を表す

また、先程の式変形で以下のような関係があることを示しました。

$$
{}^{0}{\bf p} = {}^{0}{\bf R}_{A}\ {}^{A}{\bf p }
$$

回転行列\( {}^{0}{\bf R}_{A} \)が、座標系\( \Sigma_{A} \)基準のベクトル\( {}^{A}{\bf p} \)にかかると(作用すると)、座標系\( \Sigma_{A} \)基準のベクトル\( {}^{0}{\bf p} \)に変換されるのでした。

回転行列は、それ自体は座標系の姿勢を表していますが、その座標系基準で表されたベクトルに作用すると、座標系変換の作用を持ちます。

（意味２）回転行列は座標系変換の作用をもつ

ふう、、

回転行列は奥が深い。

でもまだ実は座標系変換だけでなく、もう一つ、回転行列の作用がもつ意味があります。

それが回転運動です。

座標系の基底ベクトルの回転運動

（意味３）回転行列は回転運動の作用をもつ

今まで、座標系を\( \bf A \)というラベルで表してきましたが、これを今度は時間\( t \)に置き換えて考えてみます。

時々刻々と変化する回転運動を、先程まで説明してきた座標系変換のように考えます。

時刻\( t \)のときの絶対座標系\( \Sigma_{0} \)基準でベクトル \( {}^{0}{\bf p}(t) \)だったものが、

時間\( \Delta t \)のあいだ\(\Delta \theta \)回転して

時刻\( t + \Delta \)のときの絶対座標系\( \Sigma_{0} \)基準でベクトル \( {}^{0}{\bf p}(t + \Delta) \)になったとします。

この運動を式で表すと以下のように書けます。

$$
\begin{array}{rcl}
{}^{0_{t+\Delta t}}{\bf p}(t + \Delta t) &=& {}^{0_{t + \Delta t}}{\bf R}_{0_t}( \Delta t ) {}^{0_t}{\bf p}(t) \\
\end{array}
$$

冒頭にも述べましたが、回転行列\( \bf R \)の直接の入力は回転角\( \theta \)です（回転角\( \theta \)の入力が時間t）。

時間\( \Delta t \)のあいだ回転するとき、回転角が\( \Delta \theta \)とすると、上の式は以下のように直せます。

$$
{}^{0_{t + \Delta t}}{\bf p}(t + \Delta t) = {}^{0_{t + \Delta t}}{\bf R}_{0_t}( \Delta \theta) {}^{0_t}{\bf p}(t)
$$

以降、時刻\( t + \Delta t \)のときの絶対座標系\( \Sigma_{0} \)基準という表現は、省略して以下のように書かせてもらいます。

$$
{}^{0}{\bf p}(t + \Delta t) = {}^{0}{\bf R}( \Delta \theta) {}^{0}{\bf p}(t)
$$

絶対座標系\( \Sigma_{0} \)基準の基底ベクトル\( {}^{0}{\bf e}_{x} \), \( {}^{0}{\bf e}_{y} \), \( {}^{0}{\bf e}_{z} \)は、回転角\( \Delta \theta \)に伴って\( {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}}(\Delta \theta) \), \( {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}}(\Delta \theta) \), \( {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} (\Delta \theta) \)となるので、姿勢の変化は以下のようになります。

$$
{}^{0}{\bf R} (\Delta \theta)
=
\left[ \begin{array}{c}
{}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} (\Delta \theta) &
{}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} (\Delta \theta) &
{}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} (\Delta \theta)
\end{array} \right]
$$

さらにこれら基底ベクトル\( {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} \), \( {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} \), \( {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} \)は、下図のように\( \Delta \theta \)変化すると、原点は同じまま、かつベクトルの大きさは１なので、半径１の球の表面上の点を移動します。

図にもオレンジの線でいくつか描きましたが、この基底ベクトルの球表面上での移動の仕方は、一様ではありません。

\( \Delta \theta \)の軌道(＝\( \theta(t) \)の軌道計算方法)、回転軸方向\( \bf n \)に依存します。

よって、姿勢の変化\( {}^{0}{\bf R}(\Delta \theta) \)も\( \theta(t) \)の軌道、回転軸方向\( \bf n \)に依存することになります。
これは \( \Delta {\bf \omega}  = \Delta t \ {\bf \omega}(t) = \Delta \theta \ {\bf n} \)に依存すると言うこともできます。ロドリゲスの公式を当てはめると姿勢の変化とは\( {}^{0}{\bf R}(\Delta \theta, {\bf n}) \)として以下のように書き表わすこともできます。

$$
\begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf R}(\Delta \theta)
&=&
\left[ \begin{array}{c}
{}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} (\Delta \theta) &
{}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} (\Delta \theta) &
{}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} (\Delta \theta)
\end{array} \right] \\
&=& {}^{0}{\bf R} (\Delta \theta, {\bf n}) \\
&=& {\bf I} + {\rm sin}(\Delta \theta) {\bf[ n\times]} + (1 – {\rm cos}(\Delta \theta)) {\bf[ n\times]}^2 \
\end{array}
$$

\( \Delta t \)時間変化後の姿勢、時刻\( t + \Delta t \)のときの姿勢\( {}^{0}{\bf R}(t + \Delta t )\)は以下のように表せます。

$$
\begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf R} (t + \Delta t)
&=& {}^{0}{\bf R} (\Delta \theta, {\bf n}) {}^{0}{\bf R} (t)
\end{array}
$$

開始時刻\( t_0 \) から \( \Delta t \)ずつ経過して 終端時刻 \( t_f \) まで姿勢の運動は以下のように書き表せることができると言えます。

$$
\begin{array}{rcl}
{}^{0}{\bf R} (t_f)
&=& {}^{0}{\bf R}_{f-1 \rightarrow f}(\Delta t) \cdots {}^{0}{\bf R}_{i \rightarrow i+1}(\Delta t) \cdots {}^{0}{\bf R}_{1 \rightarrow 2}(\Delta t) {}^{0}{\bf R}_{0 \rightarrow 1}(\Delta t) {}^{0}{\bf R}(t_0) \\
&=& {}^{0}{\bf R}(\Delta \theta_f) \cdots {}^{0}{\bf R}(\Delta \theta_i) \cdots {}^{0}{\bf R}(\Delta \theta_2) {}^{0}{\bf R}(\Delta \theta_1) {}^{0}{\bf R}(t_0) \\
&=& {}^{0}{\bf R}(\Delta \theta_f, {\bf n}_f) \cdots {}^{0}{\bf R}(\Delta \theta_i, {\bf n}_i) \cdots {}^{0}{\bf R}(\Delta \theta_2, {\bf n}_2) {}^{0}{\bf R}(\Delta \theta_1, {\bf n}_1) {}^{0}{\bf R}(t_0)
\end{array}
$$

回転行列の速度

以上を踏まえて、回転行列の速度\( {\dot {\bf R}} \)が何かを考えると、

姿勢の速度

と簡単に考えられます。

姿勢は基底ベクトルで構成されていたので、姿勢の速度とは基底ベクトルの速度\( {}^{0}{\dot {\bf x}}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} \), \( {}^{0}{\dot {\bf y}}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} \), \( {}^{0}{\dot {\bf z}}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} \)といえます。

言い換えると、

基底ベクトルの運動方向(球表面上を移動する軌道の接線の傾き)

を表しています。

これらは、回転角の軌道速度\( {\dot \theta}(t) \)、回転軸方向\( \bf n \)に依存します。

この特徴をまとめたものが、角速度ベクトル\( \bf \omega \)だったのですね。

$$
{\bf \omega} = {\dot \theta} {\bf n}
$$

速度\( {\dot {\bf R}} \)の式を見直してみると、

$$ \begin{array}{rcl}
{\dot {\bf R}} &=& {\dot \theta} [{\bf n} \times] {\bf R} \\
&=& [\omega \times] {\bf R}
\end{array}
$$

でした。

回転行列\( {\bf R} \)と、その速度の元となる角速度ベクトル\( \bf \omega \)との外積で得られる行列、

すなわち、基底ベクトルの運動方向

$$
{}^{0}{\dot {\bf x}}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} = \omega \times {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}} = {\dot \theta} {\bf n} \times {}^{0}{\bf x}_{{}^{0}{\bf e}_{x}}
$$

$$
{}^{0}{\dot {\bf y}}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} = \omega \times {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}} = {\dot \theta} {\bf n} \times {}^{0}{\bf y}_{{}^{0}{\bf e}_{y}}
$$

$$
{}^{0}{\dot {\bf z}}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} = \omega \times {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}} = {\dot \theta} {\bf n} \times {}^{0}{\bf z}_{{}^{0}{\bf e}_{z}}
$$

を表していたのでした。

この運動方向は、外積の性質からもいえるように、回転軸\( \bf n \)と各基底ベクトルと垂直に交わる方向になります。

上の図の、球表面に対して接する方向です。

絶対座標系\( \Sigma_{0} \)から見たベクトル\( {}^{0} {\bf p} \)の速度\( {}^{0}{\dot {\bf p}} \)は、角速度ベクトル \( \bf \omega \) により外積の形で表され、さらにその外積ベクトルは、\( {}^{0}{\dot {\bf R}} \)についての方程式から\( {}^{0}{\dot {\bf R}} {}^{0} {\bf R}^{\rm T} \)となることが分かるので、以下の式で表されます。

$$
\begin{array}{rcl}
{}^{0}{\dot {\bf p}} &=& {\bf \omega} \times {}^{0}{\bf p} \\
&=& [{\bf \omega} \times ] {}^{0}{\bf p} \\
&=& {}^{0}{\dot {\bf R}} {}^{0} {\bf R}^{\rm T} {}^{0}{\bf p}
\end{array}
$$

ふう、、

ここまで回転行列を掘り下げるなんて、まぁまずやらないですね。

「だからどうした」と、実際必要性を全く感じない話かもしれません。

途中の式変形とか狂気の沙汰でしたね。

でも、自分でこうやって深いところまで探った後は、現象を多面的に捉えて理解しやすくなるし、制御するときの応用を考えやすくなるので、一度はやっときたいと考えています。

あと、たいていのロボット工学の教科書では、回転行列の以下の性質

• 姿勢
• 座標系変換させるオペレータ
• 回転運動させるオペレータ

を一緒くたに説明してあり、それぞれの意味・利用方法が違うことがわからなくなります（梶田先生の教科書ではきちんと説明してあります）。

なので今後、回転行列を出すときはどれを表しているか十分注意してノートしていきたいです。

以上です。